Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上，OA=10，cos∠COA=．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段OA方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA，交折線(xiàn)段OC﹣CB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點(diǎn)N在射線(xiàn)OA上，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　　　，當(dāng)t=　　　　　　時(shí)N點(diǎn)與A點(diǎn)重合；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN與菱形OABC的重合部分面積為S，直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)B的直線(xiàn)將正方形PQMN分成了兩部分，請(qǐng)問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使得被分成的兩部分中有一部分的面積是菱形面積的？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=時(shí)，N點(diǎn)與A點(diǎn)重合；（2）①，

②，

③，

④8＜t≤10，S=104﹣8t；

（3）①當(dāng)0＜t≤6，，，，，

若，則，，

若，則，，

②當(dāng)6＜t≤8，，，，，

若，則，t=0（舍），

若，則，t3=8；

③8＜t≤10，不存在符合條件的t值．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OA=OC，再根據(jù)三角函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，注意動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的幾種情況，得出自變量的取值范圍；

（3）根據(jù)被分成的兩部分中有一部分的面積是菱形面積的，畫(huà)出圖示，分幾種情況進(jìn)行討論解答．

試題解析：（1）∵菱形OABC中，OA=10，

∴OC=10，

∵cos∠COA=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（6，8），

∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段OA方向運(yùn)動(dòng)，

∵OA=10，

∴t=時(shí)，N點(diǎn)與A點(diǎn)重合；

（2）①，

②，

③，

④8＜t≤10，S=104﹣8t；

（3）S菱形=80，直線(xiàn)OB過(guò)原點(diǎn)（0，0），B點(diǎn)（16，8），故直線(xiàn)OB解析式為，

直線(xiàn)OB與PQ、MN分別交于E、F點(diǎn)，如圖：

①當(dāng)0＜t≤6，，，，，

若，則，，

若，則，，

②當(dāng)6＜t≤8，，，，，

若，則，t=0（舍），

若，則，t3=8；

③8＜t≤10，不存在符合條件的t值．