【題目】如圖1,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),連接、,且點(diǎn)是線段的中點(diǎn),連接.
(1)如圖2,點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn),在線段上有一動點(diǎn),連接、、,當(dāng)面積最大時(shí),求的最小值;
(2)將過點(diǎn)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)中的直線分別與直線、直線交于點(diǎn)、,當(dāng)為等腰三角形時(shí),直接寫出的長.
【答案】(1)的最小值為;(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí),的長為或或.
【解析】
(1)首先求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)及直線CD解析式,然后連接PC,PD,過點(diǎn)P作PH∥x軸交CD于H,設(shè)P(x,),則H(,),列出面積的二次函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo),過點(diǎn)D作DE⊥BC于E,求出sin∠DCE=,再過點(diǎn)Q作QF⊥CD于F,根據(jù)sin∠QCF=,可得,則,進(jìn)而得到當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),的值最小,此時(shí)PF⊥CD,PF為的最小值,最后利用面積法求出PF即可;
(2)當(dāng)CM=CN時(shí),過點(diǎn)M作MG∥x軸,可得△CGM∽△COA,設(shè)GM=3a,則CG=4a,CM=5a,根據(jù)CM=CN可求出GN=a,然后由平行得出△MGN∽△DON,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出ON,即可得到CM=CN的值,當(dāng)CM=MN和CN=MN時(shí),同理可得答案.
解:(1)在拋物線中,令y=0,即,
解得:,,
∴B(-4,0),A(3,0),
令x=0,則,
∴C(0,4),
∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn),
∴D(-2,0),
設(shè)直線CD解析式為:y=kx+4(k≠0),
代入(-2,0)得:0=-2k+4,
解得:k=2,
∴直線CD解析式為:y=2x+4,
如圖,過點(diǎn)P作PH∥x軸交CD于H,
設(shè)P(x,),則H(,),
∴PH=,
∴,
∴當(dāng)x=時(shí),面積的最大值為,
把x=代入得:,
∴P(,),
∵OB=OC=4,
∴∠CBO=45°,
過點(diǎn)D作DE⊥BC于E,則△BED是等腰直角三角形,
∵BD=2,
∴BE=DE=,
∵CD=,
∴在Rt△DCE中,sin∠DCE=,
過點(diǎn)Q作QF⊥CD于F,
在Rt△QCF中,sin∠QCF=,
∴,
∴,
∴當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),的值最小,此時(shí)PF⊥CD,PF為的最小值,
∴,
∴,
即當(dāng)面積最大時(shí),的最小值為;
(2)由(1)知,OA=3,OC=4,
∴AC=5,
如圖,當(dāng)CM=CN時(shí),過點(diǎn)M作MG∥x軸,
則△CGM∽△COA,
∴,即,
設(shè)GM=3a,則CG=4a,CM=5a,
∴CN=CM=5a,
∴GN=a,
∵MG∥AD,
∴△MGN∽△DON,
∴,
∵OD=2,
∴ON=,
∴CM=CN=;
當(dāng)CM=MN時(shí),同理可得CM=,
當(dāng)CN=MN時(shí),同理可得CM=,
綜上所述,當(dāng)為等腰三角形時(shí),的長為或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某市初中學(xué)生課外閱讀情況,調(diào)查小組對該市這學(xué)期初中學(xué)生閱讀課外書籍的冊數(shù)進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該市共有12000名初中生,估計(jì)該市初中學(xué)生這學(xué)期課外閱讀超過2冊的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了促進(jìn)學(xué)生多樣化發(fā)展,某校組織開展了社團(tuán)活動,分別設(shè)置了體育類、藝術(shù)類、文學(xué)類及其它類社團(tuán)(要求人人參與社團(tuán),每人只能選擇一項(xiàng)).為了解學(xué)生喜愛哪種社團(tuán)活動,學(xué)校做了一次抽樣調(diào)查.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中提供的信息,完成下列問題:
(1)此次共調(diào)查了多少人?
(2)求體育社團(tuán)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)若該校有3000名學(xué)生,請估計(jì)喜歡文學(xué)類社團(tuán)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和,其頂點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)我們把坐標(biāo)為(n,m)的點(diǎn)叫做坐標(biāo)為(m,n)的點(diǎn)的反射點(diǎn),已知點(diǎn)M在這條拋物線上,它的反射點(diǎn)在拋物線的對稱軸上,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是拋物線在第一象限部分上的一點(diǎn),如果∠POA=∠ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某區(qū)正在積極創(chuàng)建國家模范衛(wèi)生城市,學(xué)校為了普及學(xué)生衛(wèi)生健康知識,提高學(xué)生創(chuàng)衛(wèi)意識,舉辦了創(chuàng)衛(wèi)知識競賽,以下是從初一、初二兩個(gè)年級隨機(jī)抽取20名同學(xué)的測試成績進(jìn)行調(diào)查分析,成績?nèi)缦拢?/span>
初一:75 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 95 87 88 92 91
初二:74 96 96 89 97 74 69 76 72 78 99 72 97 85 98 74 89 73 98 74
(1)整理、描述數(shù)據(jù):
成績 | |||||
初一(頻數(shù)) | 1 | 2 | 3 | 6 | |
初二(頻數(shù)) | 0 | 1 | 9 | 3 | 7 |
(說明:成績90分及以上為優(yōu)秀,80~90分為良好,60~80分為合格,60分以下不合格)
分析數(shù)據(jù):
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
初一 | 84 | 89 | |
初二 | 84 | 81.5 |
請根據(jù)上述的數(shù)據(jù),填空:______;______;______;
(2)得出結(jié)論:
你認(rèn)為哪個(gè)年級掌握創(chuàng)衛(wèi)知識水平較好并說明理由.(至少從兩個(gè)不同的角度說明推斷的合理性).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,切于點(diǎn),點(diǎn)是上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)不與,兩點(diǎn)重合),連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),連接,,.
(1)求證:直線為的切線;
(2)若直徑的長為4.
①當(dāng)________時(shí),四邊形為正方形;
②當(dāng)________時(shí),四邊形為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B.圖②是點(diǎn)F運(yùn)動時(shí),△FBC的面積y(cm)隨時(shí)間x(s)變化的關(guān)系圖象,則a的值是__
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長:中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 20 | 0.10 |
70≤x<80 | 30 | b |
80≤x<90 | a | 0.30 |
90≤x≤100 | 80 | 0.40 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a=______,b=______;
(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在_____________分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績“優(yōu)”等約有多少人?
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