Question

【題目】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，連接，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是與線段延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，當(dāng)平分時(shí)，______（填“>”“<”或“=”）：當(dāng)不平分時(shí)，__________.

Answer 1

【答案】= 8

【解析】

①先證明△ABP≌△CBQ,再證明△QBD≌△PBD,即可得出PD=QD;②證明△BQD∽△PBD,即可利用對(duì)應(yīng)邊成比例求得PD·QD.

解:①當(dāng)BD平分∠PBQ時(shí)，

∠PBQ=45°，

∴∠QBD=∠PBD=22.5°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,

∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，

在△ABP和△CBQ中，

∴△ABP≌△CBQ（ASA）,

∴BP=BQ，

在△QBD和△PBD中，

∴△QBD≌△PBD（SAS）,

∴PD=QD;

②當(dāng)BD不平分∠PBQ時(shí)，

∵AB∥CQ，

∴∠ABQ=∠CQB，

∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，

∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB，

∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°,

∴∠BDQ=∠BDP,

∴△BQD∽△PBD，

∴,

∴PD·QD=BD2=22+22=8，

故答案為:=，8.