Question

（2013年四川廣安10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3�！唷鰽OB是等腰直角三角形�！唷螧AO=45°。
∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°﹣45°=45°。
又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形�！郟D越大，△PDE的周長越大。
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立，消掉y得，x²+3x+m﹣3=0，
當(dāng)△=3²﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長，
此時(shí)x=，y=+=，
∴點(diǎn)P（，）時(shí)，△PDE的周長最大。
②拋物線y=﹣x²﹣2x+3的對(duì)稱軸為直線，
（i）如圖1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°。
∴∠APF=∠QPM。
∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）�！郟F=PQ。
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n）。
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x²﹣2x+3上，∴﹣n²﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n²+n﹣4=0。
解得n₁=（舍去），n₂=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。
（ii）如圖2，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN。
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ。
∴PF=AQ。
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，﹣x²﹣2x+3），
則有﹣x²﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得x=（不合題意，舍去）或x=。
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，2）。
綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）。

解析