【題目】已知拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)的頂點(diǎn)為M,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與x軸另一交點(diǎn)為A.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若△AMO為等腰直角三角形,求拋物線C1的解析式;
(3)現(xiàn)將拋物線C1繞著點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2 , 若拋物線C2的頂點(diǎn)為N,當(dāng)b=1,且頂點(diǎn)N在拋物線C1上時(shí),求m的值.

【答案】
(1)

解:∵拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,

∴0=4a+b,

∴當(dāng)ax2+4ax+4a+b=0時(shí),則ax2+4ax=0,

解得:x=0或﹣4,

∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)A坐標(biāo)是(﹣4,0)


(2)

解:∵拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a≠0,b>0),(如圖1)

∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(﹣2,b),

∵△AMO為等腰直角三角形,

∴b=2,

∵拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b過(guò)原點(diǎn),

∴a(0+2)2+2=0,

解得:a=﹣

∴拋物線C1:y=﹣ x2﹣2x


(3)

解:∵b=1,拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b過(guò)原點(diǎn),(如圖2)

∴a=﹣ ,

∴y=﹣ (x+2)2+1=﹣ x2﹣x,

設(shè)N(n,﹣1),又因?yàn)辄c(diǎn)P(m,0),

∴n﹣m=m+2,

∴n=2m+2

即點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2m+2,﹣1),

∵頂點(diǎn)N在拋物線C1上,

∴﹣1=﹣ (2m+2+2)2+1,

解得:m=﹣2+ 或﹣2﹣


【解析】(1)由拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可知當(dāng)x=0時(shí),y=0,由此可得關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可求出拋物線x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由△AMO為等腰直角三角形,拋物線的頂點(diǎn)為M,可求出b的值,再把原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)代入求出a的值,即可求出拋物線C1的解析式;(3)由b=1,易求線拋物線C1的解析式,設(shè)N(n,﹣1),再由點(diǎn)P(m,0)可求出n和m的關(guān)系,當(dāng)頂點(diǎn)N在拋物線C1上可把N的坐標(biāo)代入拋物線即可求出m的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí),掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°,以及對(duì)二次函數(shù)的圖象的理解,了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn).

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(2)求該拋物線的對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)設(shè)(1)中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí),滿足SPAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

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