Question

如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中.

（1）操作發(fā)現(xiàn)(4分)
如圖2，固定△ABC ，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：

線段DE與AC的位置關(guān)系是         ；
設(shè)△BDC的面積為，△AEC的面積為。則與的數(shù)量關(guān)系是      。
（2）猜想論證（4分）
當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC，△AEC中邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想。

Answer 1

（1）DE∥AC；S₁=S₂；（2）證明見(jiàn)解析.

試題分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=
12AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．
試題解析：（1）①DE∥BC
理由如下：
∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；
（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂．
考點(diǎn): 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.平行線的判定；3.等邊三角形的判定與性質(zhì)．