Question

【題目】我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾 何意義，進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B，分別用a 和b 表示，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝|a﹣b|利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示3 和7 的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示﹣3 和﹣7 的兩 點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示2 和﹣3 的兩點(diǎn)之間的距離是 ；

(2)數(shù)軸上表示x和﹣5 的兩點(diǎn)A、B之間的距離是 ，如果|AB|＝3，那 么x的值為 ；

(3)當(dāng)代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是多少？最小值是多少？

(4)已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，且|a+4|+(b﹣1)2＝0，設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，當(dāng)|PA|﹣|PB|＝2時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】(1)4；4；5；(2)；-8或-2；(3)x的范圍是；最小值是4；(4)x的值為.

【解析】

（1）（2）直接根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|=|a﹣b|．代入數(shù)值運(yùn)用絕對(duì)值即可求任意兩點(diǎn)間的距離．

（3）根據(jù)|x﹣a|表示數(shù)軸上x與a之間的距離，因而原式表示：數(shù)軸上一點(diǎn)到1和3距離的和，當(dāng)x在1和3之間時(shí)有最小值．

（4）應(yīng)考慮到A、B、P三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能解題．

（1）數(shù)軸上表示3和7的兩點(diǎn)之間的距離是|7﹣3|=4，數(shù)軸上表示﹣3和﹣7的兩點(diǎn)之間的距離是|﹣7﹣（﹣3）|=4．?dāng)?shù)軸上表示2和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是|2﹣（﹣3）|=5．

（2）數(shù)軸上表示x和﹣5的兩點(diǎn)A和B之間的距離是|x﹣（﹣5）|=|x+5|，如果|AB|=3，那么x為﹣8或﹣2．

（3）代數(shù)式|x﹣1|+|x+3|表示在數(shù)軸上到1和﹣3兩點(diǎn)的距離的和，當(dāng)x在﹣3和1之間時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值是﹣3和1之間的距離4．

故當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值是4．

（4）①當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣5≠2．

②當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，|PA|﹣|PB|=|AB|=5≠2，∴上述兩種情況的點(diǎn)P不存在．

③當(dāng)P在A、B之間時(shí)，|PA|=|x﹣（﹣4）|=x+4，|PB|=|x﹣1|=1﹣x．

∵|PA|﹣|PB|=2，∴x+4﹣（1﹣x）=2，∴x，即x的值為．

故答案為：（1）4；4；5．

（2）|x+5|；﹣8或﹣2．

（3）x的范圍是﹣3≤x≤1；最小值是4．

（4）x的值為-.