如圖,在平面直角坐標系中,點A(10,0),以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C,點B是該半圓周上一動點,連接OB、AB,并延長AB至點D,使DB=AB,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線OB于點E、F,點E為垂足,連接CF.
(1)當∠AOB=30°時,求弧AB的長度;
(2)當DE=8時,求線段EF的長;
(3)在點B運動過程中,是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,請求出此時點E的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)連接BC,由已知得∠ACB=2∠AOB=60°,AC=AO=5,根據(jù)弧長公式求解;
(2)連接OD,由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10,又DE=8,在Rt△ODE中,由勾股定理求OE,依題意證明△OEF∽△DEA,利用相似比求EF;
(3)存在.當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時,分為①當交點E在O,C之間時,由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,②當交點E在點C的右側(cè)時,要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,③當交點E在點O的左側(cè)時,要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,三種情況,分別求E點坐標.
解答:解:(1)連接BC,
∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧AB的長=;(4分)

(2)①若D在第一象限,
連接OD,
∵OA是⊙C直徑,
∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE==,
∴AE=AO-OE=10-6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
,即,
∴EF=3;(4分)
②若D在第二象限,
連接OD,
∵OA是⊙C直徑,
∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE==,
∴AE=AO+OE=10+6=16,
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
,即=,
∴EF=12;
∴EF=3或12;

(3)設(shè)OE=x,
①當交點E在O,C之間時,由以點E、C、F為頂點的三角
形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,
當∠ECF=∠BOA時,此時△OCF為等腰三角形,點E為OC
中點,即OE=
∴E1,0);
當∠ECF=∠OAB時,有CE=5-x,AE=10-x,
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
,即,解得:,
∴E2,0);

②當交點E在點C的右側(cè)時,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
連接BE,
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,
,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,
∴△CEF∽△AED,

而AD=2BE,

,解得,<0(舍去),
∴E3,0);

③當交點E在點O的左側(cè)時,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.
∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
連接BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,
∴△CEF∽△AED,
,
而AD=2BE,

,
解得x1=,x2=
∵點E在x軸負半軸上,
∴E4,0),
綜上所述:存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,
此時點E坐標為:E1,0)、E2,0)、E3,0)、E4,0).(4分)
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的運用,圓周角定理,弧長公式的運用.關(guān)鍵是理解題意,根據(jù)基本條件,圖形的性質(zhì),分類求解.
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BD
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=
5
8
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5
29
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