【題目】把一個含45°角的直角三角板BEF和一個正方形ABCD擺放在一起,使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)B重合,聯(lián)結(jié)DF,點(diǎn)M,N分別為DF,EF的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)MA,MN.
(1)如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形的邊CB,AB上,請判斷MA,MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,直接
寫出結(jié)論;
(2)如圖2,點(diǎn)E,F分別在正方形的邊CB,AB的延長線上,其他條件不變,那么你在(1)中得到的兩個結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.
圖1 圖2
【答案】(1)MA=MN,MA⊥MN;(2)成立,理由詳見解析
【解析】
試題(1)連接DE,先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AM=DF,再根據(jù)△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE,由SAS定理得出△ADF≌△CDE,故DE=DF.再根據(jù)點(diǎn)M,N分別為DF,EF的中點(diǎn),得出MN是△EFD的中位線,故MN=DE,MN∥DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)連接DE,由直角三角形的性質(zhì)得出MA=DF=MD=MF,故∠1=∠3.再由點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),得出MN是△DEF的中位線,所以MN=DE,MN∥DE.根據(jù)△BEF是等腰直角三角形可知BF=BF,∠EBF=90°.根據(jù)SAS定理得出△ADF≌△CDE,故DF=DE,∠1=∠2,MA=MN,∠2=∠3.再根據(jù)∠2+∠4=∠ABC=90°,∠4=∠5得出∠3+∠5=90°,由三角形內(nèi)角和定理可知∠6=180°﹣(∠3+∠5)=90°,故可得出結(jié)論.
試題解析:(1)解:連接DE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD=AB=BC,∠DAB=∠DCE=90°,
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn),
∴AM=DF.
∵△BEF是等腰直角三角形,
∴AF=CE,
在△ADF與△CDE中,
,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴DE=DF.
∵點(diǎn)M,N分別為DF,EF的中點(diǎn),
∴MN是△EFD的中位線,
∴MN=DE,
∴AM=MN;
∵MN是△EFD的中位線,
∴MN∥DE,
∴∠FMN=∠FDE.
∵AM=MD,
∴∠MAD=∠ADM,
∵∠AMF是△ADM的中位線,
∴∠AMF=2∠ADM.
∵△ADF≌△CDE,
∴∠ADM=∠DEC,
∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°,
∴MA⊥MN.
∴MA=MN,MA⊥MN.
(2)成立.
理由:連接DE.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
在Rt△ADF中,
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn),
∴MA=DF=MD=MF,
∴∠1=∠3.
∵點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),
∴MN是△DEF的中位線,
∴MN=DE,MN∥DE.
∵△BEF是等腰直角三角形,
∴BF=BF,∠EBF=90°.
∵點(diǎn)E、F分別在正方形CB、AB的延長線上,
∴AB+BF=CB+BE,即AF=CE.
在△ADF與△CDE中,
∵
∴△ADF≌△CDE,
∴DF=DE,∠1=∠2,
∴MA=MN,∠2=∠3.
∵∠2+∠4=∠ABC=90°,∠4=∠5,
∴∠3+∠5=90°,
∴∠6=180°﹣(∠3+∠5)=90°,
∴∠7=∠6=90°,MA⊥MN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題情境)
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點(diǎn),E是CD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM.求證:AM=AD+MC.
(探究展示)
(2)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,試判斷AM=AD+MC是否成立?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;
(拓展延伸)
(3)若(2)中矩形ABCD兩邊AB=6,BC=9,求AM的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,-1).
(1)試作出△ABC以C為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C;
(2)以原點(diǎn)O為對稱中心,再畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a,b滿足 +(c-7)2=0.
(1) a= ,b= ,c= .
(2) 若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù) 表示的點(diǎn)重合.
(3) 點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動,若點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動,同時,點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運(yùn)動,假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4) 請問:3BC-2AB的值是否隨著時間t的變化而改變? 若變化,請說明理由;若不變,請求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有關(guān)于,的方程.
(1)當(dāng)和時,所得方程組成的方程組是,它的解是______;
(2)當(dāng)和時,所得方程組成的方程組是______它的解是______;
(3)猜想:無論取何值,關(guān)于,的方程一定有一個解是______.
(4)猜想:無論取何值,關(guān)于,的方程一定有一個解是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為原點(diǎn),數(shù)軸上兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別為,且滿足關(guān)于的整式與之和是是單項(xiàng)式,動點(diǎn)以每秒個單位長度的速度從點(diǎn)向終點(diǎn)運(yùn)動.
(1)求的值.
(2)當(dāng)時,求點(diǎn)的運(yùn)動時間的值.
(3)當(dāng)點(diǎn)開始運(yùn)動時,點(diǎn)也同時以每秒個單位長度的速度從點(diǎn)向終點(diǎn)運(yùn)動,若,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若∠A與∠B的兩邊分別垂直,請判斷這兩個角的數(shù)量關(guān)系.
(1)如圖①,∠A與∠B的數(shù)量關(guān)系是____,如圖②,∠A與∠B的數(shù)量關(guān)系是____.
(2)請從圖①或圖②中選擇一種情況說明理由。
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