【題目】閱讀下列材料:
已知:如圖1,直線AB∥CD,點(diǎn)E是AB、CD之間的一點(diǎn),連接BE、DE得到∠BED.
求證:∠BED =∠B+∠D.
圖1
小冰是這樣做的:
證明:過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,則有∠BEF=∠B.
∵AB∥CD,∴EF∥CD.
∴∠FED=∠D.
∴∠BEF +∠FED =∠B+∠D.
即∠BED=∠B+∠D.
請(qǐng)利用材料中的結(jié)論,完成下面的問(wèn)題:
已知:直線 AB∥CD,直線MN分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F.
(1)如圖2,∠BEF和∠EFD的平分線交于點(diǎn)G.猜想∠G的度數(shù),并證明你的猜想;
(2)如圖3,EG1和EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線,分別與∠EFD的平分線交于點(diǎn)G1和G2.求證:∠FG1 E+∠G2=180°.
【答案】(1)猜想:∠EGF=90°.證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)如圖2所示,猜想:∠EGF=90°;由結(jié)論(1)得∠EGF=∠BEG+∠GFD,根據(jù)EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD,得到∠BEF=2∠BEG,∠EFD=2∠GFD,由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°,于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°,即可得到結(jié)論;
(2)如圖3,過(guò)點(diǎn)G1作G1H∥AB由結(jié)論(1)可得∠G2=∠1+∠3,∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,得到∠3=∠G2FD,由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD,由于∠1=∠2,于是得到∠G2=∠2+∠4,由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)猜想:∠EGF=90°.
證明:∵ EG,FG分別平分∠BEF和∠EFD,
∴∠BEF =2∠BEG,∠EFD=2∠GFD.
∵BE//CF,
∴∠BEF +∠EFD=180°.
∴2∠BEG+2∠GFD=180°.
∴∠BEG+∠GFD=90°.
∵由小冰的結(jié)論可得∠EGF =∠BEG+∠GFD,
∴∠EGF=90°.
(2)證明:過(guò)點(diǎn)G1作G1H//AB,
∵AB//CD,
∴G1H//CD.
∴∠3=∠G2FD.
∵由小冰的結(jié)論可得∠G2 =∠1+∠3,
∵FG2平分∠EFD,
∴∠4=∠G2FD.
∵∠1=∠2,
∴∠G2=∠2+∠4.
∵由小冰的結(jié)論可得∠EG1F =∠BEG1+∠G1FD,
∴∠EG1F +∠G2 =∠BEG1+∠G1FD+∠2+∠4
=∠BEF+∠EFD
=180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG.
(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若α為銳角,tanα= ,當(dāng)AE取得最小值時(shí),求正方形OEFG的面積.
(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí),直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,△OEP的其中兩邊之比能否為 :1?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,試說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,E是AB邊上一點(diǎn),且∠A=∠EDF=60°,有下列結(jié)論:①AE=BF;②△DEF是等邊三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一點(diǎn),BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.
(1)求證:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,試證明四邊形ABCD是菱形;
(3)在(2)的條件下,試確定E點(diǎn)的位置,使∠EFD=∠BCD,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l1∥l2∥l3 , 一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在l1 , l2 , l3上,∠ACB=90°,AC交l2于點(diǎn)D,已知l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3,則 的值為( )
A.
B.
C.
D.
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