【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若α為銳角,tanα= ,當(dāng)AE取得最小值時,求正方形OEFG的面積.
(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時,直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,△OEP的其中兩邊之比能否為 :1?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,試說明理由

【答案】
(1)

解:如圖1,

過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H,EF與y軸的交點(diǎn)為M.

∵OE=OA,α=60°,

∴△AEO為正三角形,

∴OH=3,EH= =3

∴E(﹣3,3 ).

∵∠AOM=90°,

∴∠EOM=30°.

在Rt△EOM中,

∵cos∠EOM=

= ,

∴OM=4

∴M(0,4 ).

設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+4 ,

∵該直線過點(diǎn)E(﹣3,3 ),

∴﹣3k+4 =3

解得k= ,

所以,直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y= x+4


(2)

解:如圖2,

射線OQ與OA的夾角為α( α為銳角,tanα ).

無論正方形邊長為多少,繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方

形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上,

∴當(dāng)AE⊥OQ時,線段AE的長最。

在Rt△AOE中,設(shè)AE=a,則OE=2a,

∴a2+(2a)2=62,解得a1= ,a2=﹣ (舍去),

∴OE=2a=

,∴S正方形OEFG=OE2=


(3)

解:設(shè)正方形邊長為m.

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時.

如圖3,

當(dāng)P與F重合時,△PEO是等腰直角三角形,有 = =

在Rt△AOP中,∠APO=45°,OP=OA=6,

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,6).

在圖3的基礎(chǔ)上,

當(dāng)減小正方形邊長時,

點(diǎn)P在邊FG 上,△OEP的其中兩邊之比不可能為 :1;

當(dāng)增加正方形邊長時,存在 = (圖4)和 = (圖5)兩種情況.

如圖4,

△EFP是等腰直角三角形,

=

= ,

此時有AP∥OF.

在Rt△AOE中,∠AOE=45°,

∴OE= OA=6 ,

∴PE= OE=12,PA=PE+AE=18,

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣6,18).

如圖5,

過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,延長PG交x軸于點(diǎn)H.設(shè)PF=n.

在Rt△POG中,PO2=PG2+OG2=m2+(m+n)2=2m2+2mn+n2

在Rt△PEF中,PE2=PF2+EF2=m2+n2

當(dāng) = 時,

∴PO2=2PE2

∴2m2+2mn+n2=2(m2+n2),得n=2m.

∵EO∥PH,

∴△AOE∽△AHP,

= ,

∴AH=4OA=24,

即OH=18,

∴m=9

在等腰Rt△PRH中,PR=HR= PH=36,

∴OR=RH﹣OH=18,

∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(﹣18,36).

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時,

如圖6,

P與A重合時,在Rt△POG中,OP= OG,

又∵正方形OGFE中,OG=OE,

∴OP= OE.

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(﹣6,0).

在圖6的基礎(chǔ)上,當(dāng)正方形邊長減小時,△OEP的其中

兩邊之比不可能為 :1;當(dāng)正方形邊長增加時,存在 = (圖7)這一種情況.

如圖7,過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,

設(shè)PG=n.

在Rt△OPG中,PO2=PG2+OG2=n2+m2

在Rt△PEF中,PE2=PF2+FE2=(m+n )2+m2=2m2+2mn+n2

當(dāng) = 時,

∴PE2=2PO2

∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2,

∴n=2m,

由于NG=OG=m,則PN=NG=m,

∵OE∥PN,∴△AOE∽△ANP,∴ =1,

即AN=OA=6.

在等腰Rt△ONG中,ON= m,

∴12= m,

∴m=6

在等腰Rt△PRN中,RN=PR=6,

∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為(﹣18,6).

所以,△OEP的其中兩邊的比能為 :1,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:P1(0,6),P2(﹣6,18),

P3(﹣18,36),P4(﹣6,0),P5(﹣18,6)


【解析】(1)先判斷出△AEO為正三角形,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可;(2)判斷出當(dāng)AE⊥OQ時,線段AE的長最小,用勾股定理計(jì)算即可;(3)由△OEP的其中兩邊之比為 :1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可.此題是正方形的性質(zhì)題,主要考查了正方形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如3+2=(1+)2,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:

設(shè)a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均為正整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,

∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把a(bǔ)+b的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:

(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分別表示a、b,得:a= , b= .

(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a、b、m、n填空: + = ( + )2;(答案不唯一)

(3)若a+4=(m+n)2 ,且a、m、n均為正整數(shù),求a的值.

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【題目】2013年6月,某中學(xué)結(jié)合廣西中小學(xué)閱讀素養(yǎng)評估活動,以“我最喜愛的書籍”為主題,對學(xué)生最喜愛的一種書籍類型進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,收集整理數(shù)據(jù)后,繪制出以下兩幅未完成的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖1和圖2提供的信息,解答下列問題:

(1)在這次抽樣調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名學(xué)生?

(2)請把折線統(tǒng)計(jì)圖(圖1)補(bǔ)充完整;

(3)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖2)中,體育部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);

(4)如果這所中學(xué)共有學(xué)生1800名,那么請你估計(jì)最喜愛科普類書籍的學(xué)生人數(shù).

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【題目】如圖,A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a,b,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,|a|=10,a+b=80,ab<0.

(1)求出a,b的值;

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)A出發(fā),以3個單位長度/秒的速度向右運(yùn)動,同時另一只電子螞蟻Q從點(diǎn)B出發(fā),以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動.

①設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C相遇,求出點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是多少?

②經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個單位長度?

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【題目】某中學(xué)為了綠化校園,計(jì)劃購買一批榕樹和香樟樹,經(jīng)市場調(diào)查,榕樹的單價比香樟樹少20,購買3棵榕樹和2棵香樟樹共需340.

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(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需購買兩種樹苗共150,總費(fèi)用不超過10840,且購買香樟樹的棵數(shù)不少于榕樹的1.5,請你算算該校本次購買榕樹和香樟樹共有哪幾種方案.

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【題目】下列命題中,是真命題的是(

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)求證:

)若,,點(diǎn)的中點(diǎn),求的長.

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【題目】閱讀下列材料:

已知:如圖1,直線ABCD,點(diǎn)EABCD之間的一點(diǎn),連接BEDE得到∠BED

求證:∠BED =B+D.

1

小冰是這樣做的:

證明:過點(diǎn)EEFAB,則有∠BEF=B

ABCDEFCD

∴∠FED=D

∴∠BEF +FED =B+D

即∠BED=B+D

請利用材料中的結(jié)論,完成下面的問題:

已知:直線 ABCD,直線MN分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F

(1)如圖2,BEF和∠EFD的平分線交于點(diǎn)G猜想∠G的度數(shù),并證明你的猜想;

(2)如圖3,EG1EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1=2的兩條線,分別與∠EFD的平分線交于點(diǎn)G1G2求證:∠FG1 E+G2=180°.

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