Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合），GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG．

（1）寫(xiě)出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF=105°，求線段BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）

【解析】

試題分析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問(wèn)題.

試題解析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．

理由：連接CG．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，

∵點(diǎn)G在BD上，

∴GA=GC，

∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，

∴四邊形EGFC是矩形，

∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，

∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．

∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，

∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，

∴∠AMN=30°，

∴AM=BM=2x，MN=x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+x）2，

解得x=，

∴BN=，

∴BG=BN÷cos30°=．