Question

（2013•如皋市模擬）如圖，拋物線與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)A，P（2a，-4a²+7a+2）（a是實(shí)數(shù)）在拋物線上，直線y=kx+b經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）平行于y軸的直線x=2交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．
①直線x=t（0≤t≤4）與直線AB相交F，與拋物線相交于點(diǎn)G．若FG：DE=3：4，求t的值；
②將拋物線向上平移m（m＞0）個單位，當(dāng)EO平分∠AED時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得出拋物線解析式，然后求出A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）①根據(jù)點(diǎn)E（2，5），D（2，1），G（t，-t²+

7

2

t+2），F(xiàn)（t，-

1

2

t+2），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；
②設(shè)點(diǎn)A（0，2+m），則點(diǎn)E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足為H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根據(jù)EO平分∠AED及平行線的性質(zhì)可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，繼而可得出m的值．

解答：解：（1）∵P（2a，-4a²+7a+2）（a是實(shí)數(shù)）在拋物線上，
∴拋物線的解析式為y=-4a²+7a+2=-4×（

x

2

）²+7×

x

2

+2=-x²+

7

2

x+2，
當(dāng)y=0時，即-x²+

7

2

x+2=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=4，
當(dāng)x=0時，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（-

1

2

，0），
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b，得：

4k+b=0 b=2

解得：

k=- 1 2 b=2

，
故直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2．

（2）①∵點(diǎn)E（2，5），D（2，1），G（t，-t²+

7

2

t+2），F(xiàn)（t，-

1

2

t+2），
∴DE=4，F(xiàn)G=-t²+

7

2

t+2-（-

1

2

t+2）=-t²+4t，
∵FG：DE=3：4，
∴-t²+4t=3，
解得t₁=1，t₂=3．
②設(shè)點(diǎn)A（0，2+m），則點(diǎn)E（2，5+m），
作AH⊥DE，垂足為H，
∴AE²=AH²+HE²=2²+（5+m-2-m）²=13，即AE=

13

，
∵EO平分∠AED，
∴∠AEO=∠DEO，
∵AO∥ED，
∴∠DEO=∠AOE，
∴∠AEO=∠AOE，
∴AO=AE，即2+m=

13

，
解得m=

13

-2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題的突破口在于根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)得出拋物線解析式，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識融會貫通．