Question

【題目】如圖1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同時(shí)從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度分別沿B→A→D→C和B→C→D方向運(yùn)動(dòng)至相遇時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，△BPQ的面積為S(平方單位)，S與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有( )

①當(dāng)t=4秒時(shí)，S=；②AD=4；③當(dāng)4≤t≤8時(shí)，S=；④當(dāng)t=9秒時(shí)，BP平分梯形ABCD的面積.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】A

【解析】

先判斷△BPQ為等邊三角形，然后表示出△BPQ的面積可判斷①；由圖像可判斷②；用待定系數(shù)法求出EF的解析式可判斷③；設(shè)梯形高為h，分別表示出梯形的面積和△BCP的面積可判斷④.

解：如圖2所示，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為三個(gè)階段：

（1）OE段，函數(shù)圖象為拋物線，運(yùn)動(dòng)圖形如圖1-1所示．

此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上、點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)．

∵BP=BQ=t，∠B=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

作PH⊥BQ于H，

∵sinB=,

∴PH= t，

∴S=．

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)t=4秒時(shí)，S=4，故選項(xiàng)①正確．

（2）EF段，函數(shù)圖象為直線，運(yùn)動(dòng)圖形如圖1-2所示．

此時(shí)點(diǎn)P在線段AD上、點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)．

由函數(shù)圖象可知，此階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s，

∴AD=1×4=4，故選項(xiàng)②正確．

設(shè)直線EF的解析式為：S=kt+b，將E（4，4）、F（8，8）代入得：

，

解得，

∴S=t，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤．

（3）FG段，函數(shù)圖象為直線，運(yùn)動(dòng)圖形如圖1-3所示．

此時(shí)點(diǎn)P、Q均在線段CD上運(yùn)動(dòng)．

設(shè)梯形高為h，則S梯形ABCD=（AD+BC）h=（4+8）h=6h；

當(dāng)t=9s時(shí)，DP=1，則CP=3，

∴CP：CD=3:4，

作DE⊥BC于E，PF⊥BC于F，則PF∥DE，

∴PF：DE=CP：CD=3:4，

∴PF=，

∴S△BCP=S△BCD=3h，

∴S△BCP=S梯形ABCD，即BP平分梯形ABCD的面積，故選項(xiàng)④正確．

故選：A．