Question

如圖，等邊△ABC的邊長為2，E是邊BC上的動點，EF∥AC交線段AB于點F，在線段AC上取一點P，使PE=EB，連接FP．
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的所有線段．（不再另外添加輔助線）
（2）點E滿足什么條件時，四邊形EFPC是菱形，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，以點E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)E與此時平行四邊形EFPC四條邊交點的總個數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那么各邊是相等的；
（2）當(dāng)點E是BC的中點時，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可證為菱形；
（3）根據(jù)各點到圓心的距離作答即可．

解答：解：（1）∵等邊△ABC，EF∥AC，
∴△BEF是等邊三角形，
∵PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；

（2）當(dāng)點E是BC的中點時，四邊形是菱形．
理由：∵E是BC的中點，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等邊三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四邊形EFPC是平行四邊形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）如圖所示：
當(dāng)點E是BC的中點時，EC=1，則NE=ECcos30°=

3

2

，
當(dāng)0＜r＜

3

2

時，有兩個交點；
當(dāng)r=

3

2

時，有三個交點；
當(dāng)

3

2

＜r＜1時，有六個交點；
當(dāng)r=1時，有三個交點；
當(dāng)r＞1時，有0個交點．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定及點和圓的位置關(guān)系等知識點．注意圓和線段有交點，應(yīng)根據(jù)半徑作答．