Question

【題目】（1）在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課上，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：

如圖①，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，的直角頂點(diǎn)M在邊上運(yùn)動(dòng)，直角邊分別與線(xiàn)段、線(xiàn)段交于E、F兩點(diǎn)，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終存在著.于是又有同學(xué)提出了問(wèn)題，如果將四邊形換成三角形時(shí)，是否仍存在同樣的規(guī)律呢？如圖②，在中，，點(diǎn)D為邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)是否存在兩個(gè)相似的三角形，若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）結(jié)合上述規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

如圖③，在中，，，點(diǎn)P為上一點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若為等腰三角形，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）存在兩個(gè)相似的三角形，，證明詳見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)為或或2.

【解析】

（1）由，，，得，從而證明與相似；

（2）先證，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分和三種情況討論，分別求得的長(zhǎng)，即可.

（1）存在兩個(gè)相似的三角形，，理由如下：

在和中，

∵，

，

∴.

又∵，

∴.

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

∴

又∵，

∴，

∴.

∵為等腰三角形，設(shè)，可分以下三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，則，

∴，如圖①，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)G，

∵，，

∴，

∴，解得：；

②當(dāng)時(shí)，如圖②，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，則.

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，.

∴，解得：；

③當(dāng)時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)M，

，

，

∴，解得：.

綜上所述，的長(zhǎng)為或或2.