Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A₁是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與過(guò)點(diǎn)（0，1）且平行于x軸的直線l₁的一個(gè)交點(diǎn)；點(diǎn)A₂是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為3的圓與過(guò)點(diǎn)（0，2）且平行于x軸的直線l₂的一個(gè)交點(diǎn)；點(diǎn)A₃是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為4的圓與過(guò)點(diǎn)（0，3）且平行于x軸的直線l₃的一個(gè)交點(diǎn)；點(diǎn)A₄是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為5的圓與過(guò)點(diǎn)（0，4）且平行于x軸的直線l₄的一個(gè)交點(diǎn)
（1）分別求出A₁、A₂、A₃、A₄四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，猜想、歸納點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為

 

；
（3）A₁、A₂、A₃、A₄四點(diǎn)在同一條直線上嗎？如果在，求出該直線的解析式，如果不在，試判斷這四個(gè)點(diǎn)所在的函數(shù)圖象，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：在（1）中，可連接OA₁，OA₂，OA₃，
在直角三角形OA₁M中，可得出A₁B=

22-1

=

3

，因此A₁（

3

，1）；
在直角三角形OA₂N中，可得出A₂C=

32-22

=

5

，因此A₂（

5

，2）；
在直角三角形OA₃Q中，可得出A₃D=

42-32

=

7

，因此A₃（

7

，3）；
…
（2）根據(jù)（1）題，易求出A_n（

(n+1)2-n2

，n），即A_n（

2n+1

，n）；
（3）題已知了A_n的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的表達(dá)式，可聯(lián)立兩個(gè)含n的表達(dá)式，消去n后即可得出四點(diǎn)所在函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）A₁（

3

，1）、A₂（

5

，2）、A₃（

7

，3）、A₄（3，4）；

（2）A_n（

2n+1

，n）；

（3）不在同一條直線上，四點(diǎn)在拋物線上
令

x= 2n+1 y=n

．
消去n得y=

1

2

x²-

1

2

，
該函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象是拋物線．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)考查了動(dòng)態(tài)性和規(guī)律性問(wèn)題，找出點(diǎn)A的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．