Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接、、．

（1）求證；

（2）①當(dāng)點(diǎn)在何處時，的值最小；

②當(dāng)點(diǎn)在何處時，的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)的最小值為時，求正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最�。�②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，AM+BM+CM的值最�。�理由見解析；（3）．

【解析】

（1）由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
（2）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時，AM+CM的值最��；
②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（如圖）；
（3）作輔助線，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=30°，設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為．

（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小．②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，
AM+BM+CM的值最小．

理由如下：連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，若E、N、M、C在同一條直線上時，EN+MN+CM取得最小值，最小值為EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
∴∠BCM=∠BEN，
∵EB=CB，
∴若連接EC，則∠BEC=∠BCE，
∵∠BCM=∠BCE，∠BEN=∠BEC，
∴M、N可以同時在直線EC上．
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．
（3）解：過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F，

∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°．
設(shè)正方形的邊長為x，則BF=x，EF= ．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴（）2+（x+x）2=(+1)2．
解得x1=，x2=-（舍去負(fù)值）．
∴正方形的邊長為．