Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)O．P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C．

（1）求出二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)y=ax（x﹣4），把A點(diǎn)坐標(biāo)（3，3）代入得：a=﹣1，
函數(shù)的解析式為y=﹣x²+4x， …………………………………………………4分
（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD=﹣m²+3m，=﹣+，……………… 6分
∵﹣1＜0，開口向下，∴有最大值，
當(dāng)D（，0）時(shí)，PC_max=，…………………………………………………8分
（3）P的坐標(biāo)是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．
………………………………………………………………………12分
（3）簡單解答過程如下：
當(dāng)0＜m＜3時(shí)，僅有OC=PC，∴，解得，
∴；
當(dāng)m≥3時(shí)，PC=CD﹣PD=m²﹣3m，OC=，
由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m﹣4）²，
①當(dāng)OC=PC時(shí)，，
解得：，
∴；
②當(dāng)OC=OP時(shí)，，
解得：m₁=5，m₂=3（舍去），
∴P（5，﹣5）；
③當(dāng)PC=OP時(shí)，m²（m﹣3）²=m²+m²（m﹣4）²，
解得：m=4，
∴P（4，0），
存在P的坐標(biāo)是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

（1）設(shè)y=ax（x-4），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出答案；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出PC=-m²+3m，化成頂點(diǎn)式即可求出線段PC的最大值；
（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當(dāng)m≥3時(shí)，PC=CD-PD=m²-3m，OC=m，分為三種情況：①當(dāng)OC=PC時(shí)，m²-3m=m，求出方程的解即可得到P的坐標(biāo)；同理可求：②當(dāng)OC=OP時(shí)，③當(dāng)PC=OP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜合上述即可得到答案．