Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，4），交x軸正半軸于點(diǎn)B，連接AC，點(diǎn)E是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，B重合），以OE為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線段FB繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FP，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，PH交拋物線于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E（a，0）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．

（3）當(dāng)PH＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．

【解析】

（1）點(diǎn)C（0，4），則c＝4，

二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+4，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；

（2）tan∠ACO＝＝，

△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，

即：tan∠FEB＝或4，

∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，

EB＝4﹣a，

則或，

解得：a＝或；

（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點(diǎn)B（4，0）；

分別延長(zhǎng)CF、HP交于點(diǎn)N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，

∴∠FPN＝∠NFB，

∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，

∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，

∴△PNF≌△BEF（AAS），

∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，

∴點(diǎn)P（2a，4），點(diǎn)H（2a，﹣4a2+6a+4），

∵PH＝2，

即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，

解得：a＝1或或或（舍去），

故：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．