【題目】如圖,RtABC中,∠BCA=90°,AC=BC,點(diǎn)DBC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AD上,DF=CD,BFCAE點(diǎn),過點(diǎn)ADA的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,下列結(jié)論:①CF2=EFBF;②AG=2DC;③AE=EF;④AFEC=EFEB.其中正確的結(jié)論有________

【答案】①②④.

【解析】根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠DCF=∠DFC,然后求出DF=DB,根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DBF=∠DFB,然后求出∠BFC是直角,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△BCF和△CEF相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得到①正確;根據(jù)互余關(guān)系求出∠G=∠ACG,再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)求出AG=AC,然后求出AG=BC,然后利用“角角邊”證明△BCE和△AGF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=BC,從而判斷②正確;根據(jù)角的互余關(guān)系可以求出∠EAF+∠ADC=90°,∠AFE+∠DFC=90°再根據(jù)∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°,然后求出∠FDC≠∠DFC,然后求出∠EAF≠∠EFA,從而得到AE≠EF,判斷出③錯(cuò)誤;根據(jù)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△CEF和△BCE相似,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EC2=EFEB,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CE,從而判斷出④正確.

解:∵DF=CD,

∴∠DCF=∠DFC,

∵AC=BC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),

∴DF=DB=DC,

∴∠DBF=∠DFB,

又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°,

∴∠BFC=×180°=90°,

∴CF⊥BE,

∴Rt△BCF∽R(shí)t△CEF,

=,

∴CF2=EFBF,故①正確;

∵AG⊥AD,

∴∠G+∠AFG=90°,

又∵∠ACG+∠DCF=90°,∠DCF=∠DFC=∠AFG,

∴∠G=∠ACG,

∴AG=AC,

∵AC=BC,

∴AG=BC,

又∵∠CBE=∠ACG,

∴∠CBE=∠G,

在△BCE和△AGF中,

∵∠GAF=∠BCE=90°,∠CBE=∠G,AG=BC,,

∴△BCE≌△AGF(AAS),

∴AG=BC,

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),

∴BC=2DC,

∴AG=2DC,故②正確;

根據(jù)角的互余關(guān)系,∠EAF+∠ADC=90°,∠AFE+∠DFC=90°,

∵tan∠ADC=2,

∴∠ADC≠60°,

∵∠DCF=∠DFC,

∴∠FDC≠∠DFC,

∴∠EAF≠∠EFA,

∴AE≠EF,故③錯(cuò)誤;

∵∠ACB=90°,CF⊥BE,

∴△CEF∽△BCE,

=,

∴EC2=EFEB,

∵△BCE≌△AGF(已證),

∴AF=EC,

∴AFEC=EFEB,故④正確;

所以,正確的結(jié)論有①②④.

“點(diǎn)睛”本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)等角對(duì)等邊以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出AG=AC,然后證明△BCE和△AGF全等是證明的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).

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