Question

【題目】閱讀與理解：

折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖），怎樣證明∠C＞∠B呢？

把AC沿∠A的角平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB上的點處，即，據以上操作，易證明≌，所以，又因為>∠B，所以∠C>∠B．

感悟與應用：

（1）如圖（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，試判斷AC和AD、BC之間的數量關系，并說明理由；

（2）如圖（b），在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，

① 求證：∠B+∠D=180°；

② 求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）BC-AC=AD；（2）①見解析；②14；

【解析】

（1）在CB上截取CE=CA，連接DE．可證△ACD≌△ECD，得到DE=AD，∠A=∠CED=60°，進一步得到∠CED=2∠CBA，由外角的性質得到∠CBA=∠BDE，由等角對等邊得到DE=BE，即可得到結論．

（2）①在AB上截取AE=AD，連接EC．易證△CDA≌△CEA，從而得到∠CEA=∠D，CE=CD．由等量代換得到BC=CE，由等邊對等角得到∠B=∠CEB．再由鄰補角的性質即可得到結論；

②過C作CF⊥AB于F．設FB=x，CF=h．由等腰三角形三線合一得到FE=BF=x．在Rt△BFC和Rt△FCA中，分別利用勾股定理列方程，求解即可．

（1）BC-AC=AD．理由如下：

如圖，在CB上截取CE=CA，連接DE．

∵CD平分∠ACB，同理可證△ACD≌△ECD，∴DE=AD，∠A=∠CED=60°．

∵∠ACB=90°，∴∠CBA=30°，∴∠CED=2∠CBA．

∵∠CED=∠CBA+∠BDE，∴∠CBA=∠BDE，∴DE=BE，∴AD=BE．

∵BE=BC-CE=BC-AC，∴BC-AC=AD．

（2）①在AB上截取AE=AD，連接EC．

∵AC平分∠DAB，∴∠EAC=∠DAC．在△CDA和△CEA中，∵EA=DA，∠EAC=∠DAC，AC=AC，∴△CEA≌△CDA，∴∠CEA=∠D，CE=CD．

∵DC=BC，∴BC=CE，∴∠B=∠CEB．

∵∠CEA+∠CEB=180°，∴∠B+∠D=180°；

②過C作CF⊥AB于F．設FB=x，CF=h．

∵CB=CE，CF⊥BE，∴FE=BF=x．在Rt△BFC中，∵BF2+CF2=BC2，∴①；在Rt△FCA中，②；解方程組①②得：x=3．∴AB=BF+FE+EA=2×3+8=14．