【題目】已知拋物線
(1)證明:不論m為何值,拋物線圖象的頂點均在某一直線的圖象上,求此直線的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)時,點P為拋物線上一點,且,求點P的坐標(biāo);
(3)將(2)中的拋物線沿x軸翻折再向上平移1個單位向右平移個單位得拋物線,設(shè)拋物線的頂點為,拋物線與軸相交于點(A在B的左邊),且∥,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)(3)
【解析】試題分析:(1)利用配方法可確定拋物線的頂點M坐標(biāo)為(m-1,-m-2),然后令x=m-1,y=-m-2,然后消去m得到x和y的關(guān)系式即可;
(2)先確定拋物線解析式為y=x2-2x-3,點M的坐標(biāo)為(1,-4),利用旋轉(zhuǎn)的定義,將線段OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段OC,與拋物線相交于點P,如圖1,從而得到點C坐標(biāo),再求出直線OP的解析式為y=x,然后解方程組得P點坐標(biāo);
(3)利用拋物線的幾何變換得到N(n+1,5),拋物線C2的解析式為y=-(x-n-1)2+5,過點M作ME⊥x軸于點E,過點N作NF⊥x軸于點F,如圖2,根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出A點和B點坐標(biāo),然后證明Rt△AME∽Rt△BNF,再利用相似比得到關(guān)于n的方程,解方程可得到n的值.
試題解析:(1)證明:y=x2-2(m-1)x+m2-3m-1=[x-(m-1)]2-m-2,則拋物線的頂點M坐標(biāo)為(m-1,-m-2),
令x=m-1,y=-m-2,
則x+y=-3,
所以直線l的函數(shù)解析式為y=-x-3;
(2)當(dāng)m=2時,拋物線解析式為y=x2-2x-3,點M的坐標(biāo)為(1,-4),
將線段OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段OC,與拋物線相交于點P,如圖1,
則點C坐標(biāo)為(4,1),設(shè)直線OC的解析式為y=kx,
把C(4,1)代入得4k=1,解得k=,
所以直線OP的解析式為y=x,
解方程組得或,
所以點P的坐標(biāo)為(, )或(, );
(3)由題意可知,拋物線C2的頂點N(n+1,5),則拋物線C2的解析式為y=-(x-n-1)2+5,
過點M作ME⊥x軸于點E,過點N作NF⊥x軸于點F,如圖2,
當(dāng)y=0時,-(x-n-1)2+5=0,解得x1=n+1-,x2=n+1+,
∴A(n+1-,0),B(n+1+,0),
∵AM∥BN,
∴∠MAE=∠NBF,
∴Rt△AME∽Rt△BNF,
∴,即,
∴n=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:如圖①,在ABCD中,AC,BD交于點O,過點O的直線交AD于E,交BC于F.
(1)求證:OE=OF.
(2)求證:四邊形AEFB與四邊形DEFC的周長相等;
(3)直線EF是否將ABCD的面積二等分?
應(yīng)用:張大爺家有一塊平行四邊形的菜園,園中有一口水井P,如圖②所示,張大爺計劃把菜園平均分成兩塊,分別種植西紅柿和茄子,且使兩塊地共用這口水井,請你幫助張大爺把地分開.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李老師家距學(xué)校1 900 m,某天他步行去上班,走到路程的一半時發(fā)現(xiàn)忘帶手機,此時離上班時間還有23 min,于是他立刻步行回家取手機,隨后騎電瓶車返回學(xué)校.已知李老師騎電瓶車到學(xué)校比他步行到學(xué)校少用20 min,且騎電瓶車的平均速度是步行平均速度的5倍,李老師到家開門、取手機、啟動電瓶車等共用4 min.
(1)求李老師步行的平均速度;
(2)請你判斷李老師能否按時上班,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有20道競賽題,對于每道題,答對得6分,答錯或不答扣3分.小明在這次競賽中的得分不少于80分,但又不多于90分,則小明答對的題數(shù)是( )道.
A.14
B.15
C.16
D.17
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要了解全校學(xué)生的課外作業(yè)負(fù)擔(dān)情況,你認(rèn)為以下抽樣方法中比較合理的是( )
A.調(diào)查九年級全體學(xué)生
B.調(diào)查七、八、九年級各30名學(xué)生
C.調(diào)查全體女生
D.調(diào)查全體男生
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 軸于點, ,反比例函數(shù)與OA、AB分別相交于點D、C,且點D為OA的中點,
(1)求反比例函數(shù)的解析式
(2)過點B的直線與反比例函數(shù)圖象交于第三象限內(nèi)一點F,求四邊形的面積
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AB=10,BC=3,E為AB邊的中點,P為CD邊上的點,且△AEP是腰長為5的等腰三角形,則DP=_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,對角線AC上有一點P,連接BP、DP,過點P作PE⊥PB交CD于點E,連接BE.
(1)求證:BP=EP;
(2)若CE=3,BE=6,求∠CPE的度數(shù);
(3)探究AP、PC、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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