【題目】如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9,0),以AB為直徑作O,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,連接AC、BC,過A、B、C三點(diǎn)作拋物線.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn),BCE的平分線CD交O于點(diǎn)D,連結(jié)BD,求直線BD的解析式;

(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得PDB=CBD?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2x3.(2)y=x9.(3)存在,P1,),P2(14,25).

【解析】

試題分析:(1)已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出OA、OB的長,在直角三角形ACB中由于OCAB,因此可用射影定理求出OC的長,即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo).然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)本題的關(guān)鍵是得出D點(diǎn)的坐標(biāo),CD平分BCE,如果連接OD,那么根據(jù)圓周角定理即可得出DOB=2BCD=BCE=90°,由此可得出D的坐標(biāo)為(4,5).根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;(3)本題要分兩種情況進(jìn)行討論:過D作DPBC,交D點(diǎn)右側(cè)的拋物線于P,此時(shí)PDB=CBD,可先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,然后根據(jù)BC與DP平行,那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同,因此可根據(jù)D的坐標(biāo)求出DP的解析式,然后聯(lián)立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后將不合題意的舍去,即可得出符合條件的P點(diǎn).的思路類似,先作與CBD相等的角:在OB上取一點(diǎn)N,使BN=BM.可通過證NBD≌△MDB,得出NDB=CBD,然后同的方法一樣,先求直線DN的解析式,進(jìn)而可求出其與拋物線的交點(diǎn)即P點(diǎn)的坐標(biāo).綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的值.

試題解析:(1)以AB為直徑作O,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,∴∠OCA+OCB=90°,又∵∠OCB+OBC=90°,∴∠OCA=OBC,又∵∠AOC=COB=90°,∴△AOC∽△COB,.又A(1,0),B(9,0),,解得OC=3(負(fù)值舍去).C(0,3),故設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x9),∴﹣3=a(0+1)(09),解得a=,二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)(x9),即y=x2x3.(2)AB為O的直徑,且A(1,0),B(9,0),OO=4,O(4,0),點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn),BCE的平分線CD交O于點(diǎn)D,∴∠BCD=BCE=×90°=45°,連接OD交BC于點(diǎn)M,則BOD=2BCD=2×45°=90°,OO=4,OD=AB=5.ODx軸,D(4,5).設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,,解得,直線BD的解析式為y=x9.(3)C(0,3),設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P,使得PDB=CBD,設(shè)射線DP交O于點(diǎn)Q,則 弧BQ=弧CD.分兩種情況(如圖所示):①∵O(4,0),D(4,5),B(9,0),C(0,3).把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合,因此,點(diǎn)Q1(7,4)符合 弧BQ=弧CD,D(4,5),Q1(7,4),用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=x.解方程組,得,點(diǎn)P1坐標(biāo)為(,),坐標(biāo)為(,)不符合題意,舍去.②∵Q1(7,4),點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2(7,4)也符合 弧BQ=弧CD,D(4,5),Q2(7,4).用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x17.解方程組,點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14,25),坐標(biāo)為(3,8)不符合題意,舍去.符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè):P1,),P2(14,25).

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類別

成績

60m<70

70m<80

80m<90

90m<100

頻數(shù)

5

10

a

b

根據(jù)圖表信息,回答下列問題:

(1)該班共有學(xué)生 人,表中a= ,b= ;

(2)扇形圖中,丁類所對應(yīng)的圓心角是 度;

(3)已知A同學(xué)在丁類中,現(xiàn)從丁類同學(xué)中隨機(jī)抽兩名同學(xué)參加學(xué)校的決賽,請用列舉的方法求A同學(xué)能夠參加決賽的概率.

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A.2
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C.4
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