Question

【題目】如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N，y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△MNP為等腰直角三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（　　）

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)等腰直角三角形的定義,由題意,應(yīng)分兩類情況討論：當(dāng)MN為直角邊時(shí)和當(dāng)MN為斜邊時(shí)點(diǎn)Ｐ的位置的求法．

當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到(－1，1)時(shí)，ON=1，MN=1，

∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合條件的P點(diǎn)；

又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，設(shè)點(diǎn)M(x，2x+3)，則有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，－3)．

如若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設(shè)點(diǎn)M(x，2x+3)，則有－x=－(2x+3)，化簡得－2x=－2x－3，這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；

又當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，設(shè)點(diǎn)M′(x，2x+3)，則OP=ON′，而OP=M′N′，∴有－x=(2x+3)，解得x=－，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－)．

因此，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是(0，0)，(0，－)，(0，－3)，(0，1)．

故答案選C,