Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2 ，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F
（1）求∠ABE的大小及 的長度；
（2）在BE的延長線上取一點G，使得 上的一個動點P到點G的最短距離為2 ﹣2，求BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AE，如圖1，

∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，

∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，

sin∠ABE= = = ，

∴∠ABE=45°．

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABE=180°，

∴∠DAB=135°，

∴ 的長度為 = ；

（2）解：如圖2，

根據(jù)兩點之間線段最短可得：

當A、P、G三點共線時PG最短，

此時AG=AP+PG=2+2 ﹣2=2 ，

∴AG=AB．

∵AE⊥BG，

∴BE=EG．

∵BE= = =2，

∴EG=2，

∴BG=4．

過P作PM垂直BC于M，將PG沿PM翻折得G'，此時BG'=4﹣2×（2﹣√2）=2 ，點G′也滿足條件．

綜上，存在滿足條件的BG=4或2 ．

【解析】（1）連接AE，如圖1，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進而得到∠DAB，然后運用圓弧長公式就可求出 的長度；（2）如圖2，根據(jù)兩點之間線段最短可得：當A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG=2 =AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG，只需運用勾股定理求出BE，就可求出BG的長，再根據(jù)對稱性求出G′．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質(zhì)定理和弧長計算公式，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的即可以解答此題．