Question

【題目】有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y= x與y= （k≠0）的圖象性質(zhì)．
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y= x與y= ，當(dāng)k＞0時的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小明的探究過程：

（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)y= x與y= 圖象的交點(diǎn)為A，B，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣k，﹣1），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)．
①設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M，直線PB交x軸于點(diǎn)N．求證：PM=PN．
證明過程如下，設(shè)P（m， ），直線PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則 ，
解得
∴直線PA的解析式為
請你把上面的解答過程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明．
②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，k）（k≠1）時，判斷△PAB的形狀，并用k表示出△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）（k，1）
（2）

②解：由①可知，在△PMN中，PM=PN，

∴△PMN為等腰三角形，且MH=HN=k．

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，k）時，PH=k，

∴MH=HN=PH，

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，

∴△PAB為直角三角形．

當(dāng)k＞1時，如圖1，

S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，

= MNPH﹣ ONyB+ OM|yA|，

= ×2k×k﹣ （k+1）×1+ （k﹣1）×1，

=k2﹣1；

當(dāng)0＜k＜1時，如圖2，

S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，

= ONyB﹣k2+ OM|yA|，

= （k+1）×1﹣k2+ （1﹣k）×1，

=1﹣k2

【解析】解：（1）由正、反比例函數(shù)圖象的對稱性可知，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣k，﹣1），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，1）．
所以答案是：（k，1）．
2）①證明過程如下，設(shè)P（m， ），直線PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則 ，
解得： ，
∴直線PA的解析式為y= x+ ﹣1．
當(dāng)y=0時，x=m﹣k，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m﹣k，0）．
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖1所示，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（m， ），
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），
∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
所以答案是： ；y= x+ ﹣1．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點(diǎn)，以及對反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．