Question

【題目】定義函數(shù)f（x），當(dāng)x≤3時(shí)，f（x）=x2﹣2x，當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4
【解析】解：∵x≤3時(shí)，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， ∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），
當(dāng)f（x）=0時(shí)，由x2﹣2x=0得x=0或x=2，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（0，0）和（2，0），
∵x＞3時(shí)，f（x）=x2﹣10x+24=（x﹣5）2﹣1，
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣1），
當(dāng)f（x）=0時(shí)，由x2﹣10x+24=0得x=4或x=6，
∴此時(shí)拋物線與x軸的交點(diǎn)為（4，0）和（6，0），
由 可得 ，即兩拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
如圖所示：

直線f（x）=2x+m可看作直線y=2x平移得到，
①當(dāng)直線f（x）=2x+m過點(diǎn)（3，3），即6+m=3，得m=﹣3時(shí)，
直線f（x）=2x+m與f（x）=x2﹣2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)直線f（x）=2x+m與f（x）=x2﹣2x有一個(gè)交點(diǎn)，即x2﹣2x=2x+m只有一個(gè)解時(shí)，方程f（x）=2x+m有且只有兩個(gè)解，
解得：m=﹣4，
當(dāng)直線f（x）=2x+m與f（x）=x2﹣10x+24只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即2x+m=x2﹣10x+24只有一個(gè)解，
解得：m=﹣12，
由圖象可知當(dāng)m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4時(shí)，方程f（x）=2x+m有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以答案是：m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4．
【考點(diǎn)精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．