Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BOC，（點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，對(duì)稱軸為直線x=3，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，CP，PD，BD，求四邊形PCBD的面積；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的對(duì)稱軸是x=3，可設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，即設(shè)y=a（x-3）²+k，又拋物線經(jīng)過B（0，2），C（2，0），用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）如果設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，那么S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD，根據(jù)三角形的面積公式即可求出四邊形PCBD的面積；
（3）首先根據(jù)△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

，求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，再由M點(diǎn)在拋物線y=

1

4

x²-

3

2

x+2上，求出對(duì)應(yīng)的x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得：B（0，2），C（2，0），對(duì)稱軸x=3，
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+k，
∵拋物線經(jīng)過B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k（2分）
解得：a=

1

4

，k=-

1

4

，
∴y=

1

4

（x-3）²-

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x²-

3

2

x+2；

（2）設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，
由圖可知：CD=2，
S_△BCD=

1

2

•CD•OB=

1

2

×2×2=2，
S_△pCD=

1

2

CD•PN=

1

2

CD•|P_y|=

1

2

×2×

1

4

=

1

4

，
∴S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD=2+

1

4

=

9

4

；

（3）假設(shè)存在一點(diǎn)M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

．
即：S_△MCD=

1

3

S_{四邊形PCBD}，

1

2

CD•|M_y|=

9

4

×

1

3

，
|M_y|=

3

4

，（6分）
又∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴|

1

4

x²-

3

2

x+2|=

3

4

，
∴

1

4

x²-

3

2

x+2=±

3

4

，
∴x²-6x+8=±3，
∴x²-6x+5=0或x²-6x+11=0，
由x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由x²-6x+11=0，
∵b²-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程無(wú)實(shí)根．
當(dāng)x₁=5時(shí)，y₁=

3

4

；當(dāng)x₂=1時(shí)，y₂=

3

4

．
∴存在一點(diǎn)M（5，

3

4

），或（1，

3

4

）使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．