Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，點M、N分別為AD、BC的中點，點E、F分別是BM、CM的中點.

(1)求證:△ABM≌△DCM.

(2)四邊形MENF是什么圖形?請證明你的結論.

(3)若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關系?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形MENF是菱形，理由見解析；（3）MN=BC.，理由見解析；

【解析】

（1）已知四邊形ABCD為等腰梯形，推出AB=CD，∠A=∠D，AM=DM故可證明三角形全等．

（2）由1證明的三角形全等和三角形中位線定理可得出各邊之間的關系，推出四邊形MENF是菱形．

（3）由梯形的性質及四邊形MENF是正方形推出MN⊥BC，即可得MN=BC．

(1)∵ABCD為等腰梯形，

∴AB=DC，∠A=∠D.

∵M是AD中點，

∴AM=DM.

∴△ABM≌△DCM.

(2)四邊形MENF是菱形，

由△ABM≌△DCM，得MB=MC，

∵E、F. N是MB、MC、BC的中點，

∴ME=BM,MF=MC,NF=BM,NE=MC.

∴ME=MF=FN=NE.

∴四邊形MENF是菱形.

(3)梯形的高等于底邊BC的一半，理由：連接MN，

∵MENF是正方形，

∴∠BMC=90°.

∵MB=MC，N是中點，

∴MN⊥BC且MN=BC.