【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長最?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),

把點(diǎn)A(0,4)代入上式得:a= ,

∴y= (x﹣1)(x﹣5)= x2 x+4= (x﹣3)2 ,

∴拋物線的對(duì)稱軸是:直線x=3;


(2)解:P點(diǎn)坐標(biāo)為(3, ).

理由如下:

∵點(diǎn)A(0,4),拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3,

∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(6,4)

如圖1,連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)△PAB的周長最。

設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b,

把A′(6,4),B(1,0)代入得 ,

解得 ,

∴y= x﹣ ,

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,

∴y= ×3﹣ = ,

∴P(3, ).


(3)解:在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大.

設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時(shí)點(diǎn)N(t, t2 t+4)(0<t<5),

如圖2,過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G;作AD⊥NG于D,

由點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=﹣ x+4,

把x=t代入得:y=﹣ t+4,則G(t,﹣ t+4),

此時(shí):NG=﹣ t+4﹣( t2 t+4)=﹣ t2+4t,

∵AD+CF=CO=5,

∴SACN=SANG+SCGN= AD×NG+ NG×CF= NGOC= ×(﹣ t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣ 2+

∴當(dāng)t= 時(shí),△CAN面積的最大值為

由t= ,得:y= t2 t+4=﹣3,

∴N( ,﹣3).


【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),然后將代入A(0,4)代入拋物線的解析式可求得a的值,從而可得到拋物線的解析式,然后利用拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸;
(2)作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)△PAB的周長最小,然后再求出直線BA′的解析式,從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大.設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,可得到點(diǎn)N的坐標(biāo),再求得直線AC的解析式,從而可求得NG的長t的函數(shù)關(guān)系式,最后再求出二次函數(shù)最大值即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知:如圖,在四邊形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點(diǎn)C,A(2,﹣2),B(6,﹣2),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),過點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA,垂足為點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t秒(0<t<4).△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S.

(1)求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)若將△OPQ沿著直線PQ翻折得到△O′PQ,則當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)O′恰好在拋物線上.
(3)在(2)的條件下,記△O′PQ與四邊形OABC重疊的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量的取值范圍.

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A.x1<x2<x3
B.x1<x3<x2
C.x2<x1<x3
D.x2<x3<x1

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A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

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(1)如圖1,在試驗(yàn)園地開辟一條水平寬度相等的小道,則剩余部分面積為 m2(用含x的代數(shù)式表示);

(2)如圖2,在試驗(yàn)園地開辟水平寬度相等的三條小道,其中有兩條道路相互平行. 若使剩余部分面積為570m2,試求小道的水平寬度x.

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(1)6x2﹣x﹣12=0(用配方法)

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1)按照要求畫出平面直角坐標(biāo)系,線段,寫出點(diǎn)的坐標(biāo)__________;

2)直接寫出以,,為頂點(diǎn)的三角形的面積___________

3)若線段是由線段平移得到的,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是,寫出一種由線段得到線段的過程________

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(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)結(jié)合圖象直接寫出:當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍.

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