【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,直線與x軸,y軸分別交于B,C兩點,拋物線經(jīng)過B,C兩點,與x軸的另一個交點為點A,動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒3個單位長度的速度向點B運動,運動時間為t(0<t<5)秒.
(1)求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo);
(2)在點P從點A出發(fā)的同時,動點Q從點B出發(fā)沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動,動點N從點C出發(fā)沿CA以每秒個單位長度的速度向點A運動,運動時間和點P相同.
①記△BPQ的面積為S,當(dāng)t為何值時,S最大,最大值是多少?
②是否存在△NCQ為直角三角形的情形?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) A(-3,0);(2)時, . (3)t的值為或.
【解析】試題分析:(1)由直線y=x+9與x軸,y軸分別交于B,C兩點,分別令x=0和y=0求出B與C的坐標(biāo),又拋物線經(jīng)過B,C兩點,把求出的B與C的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的表達式里得到關(guān)于b,c的方程,聯(lián)立解出b和c即可求出二次函數(shù)的解析式.又因A點是二次函數(shù)與x軸的另一交點令y=0即可求出點A的坐標(biāo).
(2)連接OM,PM與⊙O′相切作為題中的已知條件來做.由直徑所對的圓周角為直角可得∠OMC=90°從而得∠OMB=90°.又因為O′O是⊙O′的半徑,O′O⊥OP得到OP為⊙O′的切線,然后根據(jù)從圓外一點引圓的兩條切線,切線長相等可得OP=PM,根據(jù)等邊對等角得∠POM=∠PMO,然后根據(jù)等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM,再根據(jù)等角對等邊得PM=PB,然后等量代換即可求出OP的長,加上OA的長即為點P運動過的路程AP,最后根據(jù)時間等于路程除以速度即可求出時間t的值.
(3)①由路程等于速度乘以時間可知點P走過的路程AP=3t,則BP=15-3t,點Q走過的路程為BQ=3t,然后aa過點Q作QD⊥OB于點D,證△BQD∽△BCO,由相似得比列即可表示出QD的長,然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式,然后利用t=-時對應(yīng)的S的值即可求出此時的最大值.
②要使△NCQ為直角三角形,必須滿足三角形中有一個直角,由BA=BC可知∠BCA=∠BAC,所以角NCQ不可能為直角,所以分兩種情況來討論:第一種,當(dāng)角NQC為直角時,利用兩組對應(yīng)角的相等可證△NCQ∽△CAO,由相似得比例即可求出t的值;第二種當(dāng)∠QNC=90°時,也是證三角形的相似,由相似得比例求出t的值.
試題解析:(1)在中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.∴C(0,9),B(12,0).
又拋物線經(jīng)過B,C兩點,∴,解得: ,∴
令y=0,解得:A(-3,0)
(2)①過點Q作QD⊥OB于點D.
∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴
∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴,解得
又
∴(0<t<5)
當(dāng)時, .
②存在△NCQ為直角三角形的情形.
∵BC=BA=15, ∴∠BCA=∠BAC,即∠NCQ=∠CAO
∴△NCQ欲為直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.
如圖,當(dāng)∠NQC=90°時,∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO
∴△NQC∽△COA,∴ ,∴,解得: ;
當(dāng)∠QNC=90°時,∠QNC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO
∴△NQC∽△OCA,∴ ,∴,解得:t=.
綜上,存在△NCQ為直角三角形的情形,t的值為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A和B兩點在線段EF的中垂線上,且∠EBF=100°,∠EAF=70°,則∠AEB等于( )
A.95°
B.15°
C.95°或15°
D.170°或30°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明同學(xué)要測量公園內(nèi)被湖水隔開的兩顆大樹A和B之間的距離,他在A處測得大樹B在A的北偏西30°方向,他從A處出發(fā)向北偏東15°方向走了200米到達C處,測得大樹B在C的北偏西60°的方向.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求兩棵大樹A和B之間的距離(結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù), , ).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=2x2 , y=﹣2x2 , y=2x2+1共有的性質(zhì)是( )
A.開口向上
B.對稱軸都是y軸
C.都有最高點
D.頂點都是原點
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】a是最小的正整數(shù),b是最大的負整數(shù),c是絕對值最小的有理數(shù),請問:a,b,c三數(shù)之和是( )
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直線AB上一點O為端點作射線 OC,使∠BOC=60°,將一個直角三角形的直角頂點放在點O處.(注:∠DOE=90°)
(1)如圖1,若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上,則∠COE= °;
(2)如圖2,將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置,若OE恰好平分∠AOC,請說明OD所在射線是∠BOC的平分線;
(3)如圖3,將三角板DOE繞點O逆時針轉(zhuǎn)動到某個位置時,若恰好∠COD= ∠AOE,求∠BOD的度數(shù)?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)于三角形的內(nèi)心說法正確的是( )
A.內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點
B.內(nèi)心是三角形三邊中垂線的交點
C.內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等
D.鈍角三角形的內(nèi)心在三角形外
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com