Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于點和點，與交軸于點，表示當(dāng)自變量為時的函數(shù)值，對于任意實數(shù)，均有．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點是線段上的動點，過點作，交于點，連接．當(dāng)的面積最大時，求點的坐標(biāo)；

（3）若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標(biāo)為．是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標(biāo)為：或或或

【解析】

（1）根據(jù)題意即可求出拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性即可求出點A的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點C的坐標(biāo)代入即可求出二次函數(shù)的解析式，化為一般式即可；

（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸于點，根據(jù)點A、B、C的坐標(biāo)即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)，即可用含m的式子表示EG，然后根據(jù)即可求出與m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別在每種情況下求出點F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點P和點F的縱坐標(biāo)相等，將點P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出點P的橫坐標(biāo)．

解：（1）當(dāng)與時函數(shù)值相等，可知拋物線的對稱軸為，

由點的坐標(biāo)可求得點的坐標(biāo)為

設(shè)二次函數(shù)的解析式為

將點代入，得

所以，二次函數(shù)的解析式為．

（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸于點，如圖

∵（4,0），， ，

∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2

∴AB=6

∵

∴

∵

∴

∴，即，

∴

∴

又∵

∴當(dāng)時，有最大值3，此時

（3）存在．

①若，如下圖所示

則，

∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA

∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA

∴是直角三角形，OF⊥AC

∵OA=OC=4

∴點F為AC的中點

∴根據(jù)中點坐標(biāo)公式：點的坐標(biāo)為

∵直線l∥x軸

∴點P的縱坐標(biāo)=點F的縱坐標(biāo)=2，將y=2代入二次函數(shù)解析式中，得

，

得，

此時點的坐標(biāo)為：或

②若，過點作軸于點

由等腰三角形的性質(zhì)得：，

∴，

在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°

∴△AMF也是等腰直角三角形

∴FM=AM=3

∴

∵直線l∥x軸

∴點P的縱坐標(biāo)=點F的縱坐標(biāo)=3，將y=3代入二次函數(shù)解析式中，得

由，得，

此時，點的坐標(biāo)為：或

③若，

∵，且

∴

∴點到的距離為

而

∴上不存在點使得

此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形

綜上，存在這樣的直線，使得是等腰三角形，所求點的坐標(biāo)為：或或或