Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的拋物線y＝ax2﹣7ax與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)D為第三象限拋物線上一點(diǎn)，AD交y軸于點(diǎn)B，OA＝2OB，點(diǎn)D縱坐標(biāo)為﹣4．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，PD交y軸于點(diǎn)C，連接CE，求證：CE∥AD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將線段EC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)C恰好落在拋物線的點(diǎn)F處，連接OP，點(diǎn)Q為線段OP上一點(diǎn)，若∠FQC＝135°，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由相似的到D點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到解析式；

（2）過點(diǎn)D作軸交PE延長線于M，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，通過三角函數(shù)可知，進(jìn)而根據(jù)平行線的判定定理即可得到；

（3）通過構(gòu)造正方形CEFG，過點(diǎn)F作于T，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證，進(jìn)而再由圓的內(nèi)接四邊形的特征及三角形全等的性質(zhì)及判定即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）過點(diǎn)D作軸與H

令，則

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為

∵，∴，解得：

∴點(diǎn)，代入解析式得：

解得：

∴函數(shù)的表達(dá)式為解析式為：；

（2）過點(diǎn)D作軸交PE延長線于M，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴；

（3）構(gòu)造正方形CEFG，過點(diǎn)F作于T

∵點(diǎn)

∴，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為代入二次函數(shù)解析式并解得：

∴點(diǎn)

過F作于S

∵

∴為等腰直角三角形

∵四邊形FGCS對(duì)角互補(bǔ)

∴ F，G，C，S四點(diǎn)共圓

連接GS，過點(diǎn)G作交SF延長線于L

∵F，G，C，S四點(diǎn)共圓

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∵點(diǎn)

∴OP解析式為

設(shè)點(diǎn)

∵，

∴

解得或（舍）

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為．