Question

如圖，Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3；半徑為1的⊙P的圓心P在AC邊上移動．
（1）當(dāng)AP為多長時(shí)，⊙P與AB相切？（如有需要，可用圖1分析）
（2）如圖2，當(dāng)⊙P運(yùn)動到與邊BC相交時(shí)，記交點(diǎn)為E，連結(jié)PE，并作PD⊥AC交AB于點(diǎn)D，問：四邊形PDBE可能為平行四邊形嗎？若可能，求出此時(shí)AP的長；若不可能，說明理由．）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出當(dāng)PF=1時(shí)，⊙P與AB相切，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定，得出當(dāng)PE∥AB時(shí)，四邊形PDBE是平行四邊形，由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，進(jìn)而求出即可．
解答：解：（1）過P作PF⊥AB于點(diǎn)F．
由⊙P的半徑為1得，當(dāng)PF=1時(shí)，⊙P與AB相切．
由∠A是公共角，∠PFA=∠C=90°，
得△APF∽△ABC，
∴，
其中，由AC=4、BC=3得AB=5
∴AP=；

（2）∵由PD⊥AC，∠C=90°，得PD∥BC，
∴當(dāng)PE∥AB時(shí)，四邊形PDBE是平行四邊形．
由PE∥AB得，
△PCE∽△ACB，
∴
設(shè)AP=x，得PC=4-x
∴由PE=1，AB=5得，
解得x=，
因此，四邊形PDBE是平行四邊形，此時(shí)AP的長為．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用平行四邊形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．