【題目】已知:直線EF分別與直線AB,CD相交于點(diǎn)F,E,EM平分∠FED,ABCD,H,P分別為直線AB和線段EF上的點(diǎn)。

(1)如圖1HM平分∠BHP,若HPEF,求∠M的度數(shù)。

(2)如圖2,EN平分∠HEFAB于點(diǎn)N,NQEM于點(diǎn)Q,當(dāng)H在直線AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)F重合)時(shí),探究∠FHE與∠ENQ的關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

【答案】145o 2)∠FHE=2ENQ或∠FHE=180°2ENQ,證明見解析

【解析】

1)首先作MQAB,根據(jù)平行線的性質(zhì),推得∠M= (∠FHP+HFP);然后根據(jù)HPEF,推得∠FHP+HFP=90°,據(jù)此求出∠M的度數(shù)即可.

2)①如圖2,首先判斷出∠NEQ=NEF+QEF=(∠HEF+DEF=HED,然后根據(jù)NQEM,可得∠NEQ+ENQ=90°,推得∠ENQ=180°-HED=CEH,再根據(jù)ABCD,推得∠FHE=2ENQ即可.

②如圖3,首先判斷出∠NEQ=QEF-NEF=(∠DEF-HEF=HED,然后根據(jù)NQEM,可得∠NEQ+ENQ=90°,推得∠ENQ=180°-HED=CEH,再根據(jù)ABCD,推得∠FHE=180°-2ENQ即可.

如圖1,MQAB,

ABCD,MQAB,

MQCD,

∴∠1=FHM,∠2=DEM,

∴∠1+2=FHM+DEM= (FHP+FED)= (FHP+HFP),

HPEF

∴∠HPF=90°,

∴∠FHP+HFP=180°90°=90°

∵∠1+2=M,

∴∠M=×90°=45°.

(2)①如圖2,

FHE=2ENQ,理由如下:

NEQ=NEF+QEF= (HEF+DEF)= HED,

NQEM

∴∠NEQ+ENQ=90°,

∴∠ENQ= (180°HED)= CEH,

ABCD,

∴∠FHE=CEH=2ENQ.

②如圖3,

FHE=180°2ENQ,理由如下:

NEQ=QEFNEF= (DEFHEF)= HED

NQEM,

∴∠NEQ+ENQ=90°

∴∠ENQ= (180°HED)= CEH,

ABCD,

∴∠FHE=180°CEH=180°2ENQ.

綜上,可得當(dāng)H在直線AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)F重合)時(shí),FHE=2ENQ或∠FHE=180°2ENQ.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定ABC,使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí),填空:線段DEAC的位置關(guān)系是

設(shè)BDC的面積為S1,AEC的面積為S2。則S1S2的數(shù)量關(guān)系是

2)猜想論證

當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了BDCAECBC,CE邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想。

3)拓展探究

已知ABC=600點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn),BD=CD=4,OEABBC于點(diǎn)E(如圖4),若在射線BA上存在點(diǎn)F,使SDCF =SBDC,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)

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