【題目】若等腰三角形的頂角為36°,則這個三角形就是黃金三角形。如圖,在△ABC中,BA=BC,D 在邊 CB 上,且 DB=DA=AC。
(1)如圖1,寫出圖中所有的黃金三角形,并證明;
(2)若 M為線段 BC上的點,過 M作直線MH⊥AD于 H,分別交直線 AB,AC與點N,E,如圖 2,試寫出線段 BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【答案】(1)△ABC和△ADC為黃金三角形,證明見解析;(2)CD=BN+CE,證明見解析.
【解析】
(1)BA=BC,且DB=DA=AC可得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B,∠DAC=∠B,在△ADC中由三角形內(nèi)角和可求得∠B=∠DAC=36°,所以可得△ABC和△ADC為黃金三角形;
(2)由(1)可知∠BAD=∠CAD=36°,且∠AHN=∠AHE=90°,可求得∠ANH=∠AEH=54°,可得AN=AE,再借助已知利用線段的和差可得CD=BN+CE.
(1)△ABC和△ADC為黃金三角形,理由如下:
∵BA=BC,
∴∠BCA=∠BAC,
∵DA=DB,
∴∠BAD=∠B,
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B,
∴∠DAC=∠B,
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°,
∴2∠B+2∠B+∠B=180°,
∴∠B=∠DAC =36°
∵△ABC和△ADC為等腰三角形,頂角∠B=∠DAC =36°
∴△ABC和△ADC為黃金三角形;
(2)CD=BN+CE.證明如下:
在△ADB中,∵DB=DA,∠B=36°,
∴∠BAD=36°,
在△ACD中,∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC=72°,
∴∠CAD=36°,
∴∠BAD=∠CAD=36°,
∵MH⊥AD,
∴∠AHN=∠AHE=90°,
∴∠AEN=∠ANE=54°,
∴AN=AE,
又∵BA=BC,DB=AC,
∴BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,
∴BN+CE=BC-BD=CD,
即CD=BN+CE.
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【題目】如圖,已知∠1=∠3,CD∥EF,試說明∠1=∠4.請將過程填寫完整.
解:∵∠1=∠3,
又∠2=∠3(_______),
∴∠1=____,
∴______∥______(_______),
又∵CD∥EF,
∴AB∥_____,
∴∠1=∠4(兩直線平行,同位角相等).
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,點P為邊AB上一動點(且點P不與點A,B重合),PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,點M為EF中點,則PM的最小值為( 。
A.B.C.D.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程-(k+2)x+2k=0.
(1)試說明無論k取何值時,這個方程一定有實數(shù)根;
(2)已知等腰的一邊a=1,若另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根,求的周長.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示.有下列結(jié)論:①b2-4ac<0;②ab>0;③a-b+c=0;④4a+b=0;⑤當y=2時,x只能等于0.其中正確的是( )
A. ①④ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤
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【題目】如圖,C為線段AD上一點,點B為CD的中點,且AD=8cm,BD=1cm
(1)求AC的長
(2)若點E在直線AD上,且EA=2cm,求BE的長
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【題目】如圖,四邊形OABC是平行四邊形,以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓交AB于D,延長AO交⊙O于E,連接CD,CE,若CE是⊙O的切線,解答下列問題:
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若BC=3,CD=4,求平行四邊形OABC的面積.
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【題目】如圖,在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C,燈塔C距碼頭的東端N有20km.一輪船以36km/h的速度航行,上午10:00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向,上午10:40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向,且與燈塔C相距12km.
(1)若輪船照此速度與航向航向,何時到達海岸線?
(2)若輪船不改變航向,該輪船能否?吭诖a頭?請說明理由(參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7).
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