Question

【題目】閱讀下列材料，并按要求解答．

（模型建立）如圖①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．

（模型應用）

應用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求線段BD的長．

應用2：如圖 ③，在平面直角坐標系中，紙片△OPQ為等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），點Q始終在直線OP的上方．

（1）折疊紙片，使得點P與點O重合，折痕所在的直線l過點Q且與線段OP交于點M，當m＝2時，求Q點的坐標和直線l與x軸的交點坐標；

（2）若無論m取何值，點Q總在某條確定的直線上，請直接寫出這條直線的解析式　 　．

Answer 1

【答案】模型建立：見解析；應用1：2；應用2：（1）Q(1，3)，交點坐標為(，0)；（2）y＝﹣x+4

【解析】

根據AAS證明△BEC≌△CDA，即可；

應用1：連接AC，過點B作BH⊥DC，交DC的延長線于點H，易證△ADC≌△CHB，結合勾股定理，即可求解；

應用2：（1）過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QK⊥y軸于點K，直線KQ和直線NP相交于點H，易得：△OKQ≌△QHP，設H(4，y)，列出方程，求出y的值，進而求出Q(1，3)，再根據中點坐標公式，得P(4，2)，即可得到直線l的函數解析式，進而求出直線l與x軸的交點坐標；（2）設Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，進而即可得到結論．

如圖①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

∵AC＝BC，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

應用1：如圖②，連接AC，過點B作BH⊥DC，交DC的延長線于點H，

∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，

∴AC＝10，

∵BC＝10，AB2＝200，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠CBH，

∵AC＝BC＝10，

∴△ADC≌△CHB（AAS），

∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，

∴DH=6+8=14，

∵BH⊥DC，

∴BD＝＝2；

應用2：（1）如圖③，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QK⊥y軸于點K，直線KQ和直線NP相交于點H，

由題意易：△OKQ≌△QHP（AAS），

設H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，

又∵OK＝y，

∴6﹣y＝y，y＝3，

∴Q(1，3)，

∵折疊紙片，使得點P與點O重合，折痕所在的直線l過點Q且與線段OP交于點M，

∴點M是OP的中點，

∵P(4，2)，

∴M(2，1)，

設直線Q M的函數表達式為：y＝kx+b，

把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：，解得：

∴直線l的函數表達式為：y＝﹣2x+5，

∴該直線l與x軸的交點坐標為(，0)；

（2）∵△OKQ≌△QHP，

∴QK＝PH，OK＝HQ，

設Q(x，y)，

∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，

∴x+y＝KQ+HQ＝4，

∴y＝﹣x+4，

∴無論m取何值，點Q總在某條確定的直線上，這條直線的解析式為：y＝﹣x+4，

故答案為：y＝﹣x+4．