Question

【題目】如圖，矩形ABCD 中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，以 AD，OD為鄰邊作平行四邊形ADOE，連接BE.

(1) 求證：四邊形AOBE是菱形；

(2) 若∠EAO+∠DCO=180°，DC=2，求四邊形ADOE的面積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）S四邊形ADOE =.

【解析】

(1) 根據(jù)矩形的性質(zhì)有OA=OB=OC=OD，根據(jù)四邊形ADOE是平行四邊形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代換得到AE=OB.即可證明四邊形AOBE為平行四邊形.根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明.

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)有∠EAB=∠BAO.根據(jù)矩形的性質(zhì)有AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=.根據(jù)面積公式SΔADC，即可求解.

（1）證明：∵矩形ABCD，

∴OA=OB=OC=OD.

∵平行四邊形ADOE，

∴OD∥AE，AE=OD.

∴AE=OB.

∴四邊形AOBE為平行四邊形.

∵OA=OB，

∴四邊形AOBE為菱形.

（2）解：∵菱形AOBE，

∴∠EAB=∠BAO.

∵矩形ABCD，

∴AB∥CD.

∴∠BAC=∠ACD，∠ADC=90°.

∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.

∵∠EAO+∠DCO=180°，

∴∠DCA=60°.

∵DC=2，

∴AD=.

∴SΔADC=.

∴S四邊形ADOE =.