Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線y=ax²+bx過A、C兩點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．
①過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長(zhǎng)？
②連接EQ．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△CEQ是等腰三角形？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD為矩形，所以A點(diǎn)與D點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，A點(diǎn)與B點(diǎn)橫坐標(biāo)相同；
（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)表達(dá)式即為點(diǎn)G的橫作標(biāo)表達(dá)式．代入二次函數(shù)解析式，求出縱標(biāo)表達(dá)式，將線段最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答．
②若構(gòu)成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若有兩種情況時(shí)間相同，則三邊長(zhǎng)度相同，為等腰三角形．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）．
將A（4，8）、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx得

16a+4b=8 64a+8b=0

，
解得a=-

1

2

，b=4．
故拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=

PE

AP

=

BC

AB

，即

PE

AP

=

4

8

．
∴PE=

1

2

AP=

1

2

t．PB=8-t．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4+

1

2

t，8-t）．
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：-

1

2

（4+

1

2

t）²+4（4+

1

2

t）=-

1

8

t²+8．
∴EG=-

1

8

t²+8-（8-t）=-

1

8

t²+t．
∵-

1

8

＜0，∴當(dāng)t=4時(shí)，線段EG最長(zhǎng)為2．
②共有三個(gè)時(shí)刻．
（①）當(dāng)EQ=QC時(shí)，
因?yàn)镼（8，t），E（4+

1

2

t，8-t），QC=t，
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：
（

1

2

t-4）²+（8-2t）²=t²．
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=

40

13

或t=

104

13

=8（此時(shí)E、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）．
（②）當(dāng)EC=CQ時(shí)，
因?yàn)镋（4+

1

2

t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：
（4+

1

2

t-8）²+（8-t）²=t²．
整理得t²-80t+320=0，t=40-16

5

，t=40+16

5

＞8（此時(shí)Q不在矩形的邊上，舍去）．
（③）當(dāng)EQ=EC時(shí)，
因?yàn)镼（8，t），E（4+

1

2

t，8-t），C（8，0），
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：（

1

2

t-4）²+（8-2t）²=（4+

1

2

t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此時(shí)Q、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）或t=

16

3

．
于是t₁=

16

3

，t₂=

40

13

，t₃=40-16

5

．

點(diǎn)評(píng)：拋物線的求法是函數(shù)解析式中的一種，通常情況下用待定系數(shù)法，即先列方程組，再求未知系數(shù)，這種方法本題比較適合．對(duì)于壓軸題中的動(dòng)點(diǎn)問題、極值問題，先根據(jù)條件“以靜制動(dòng)”，用未知系數(shù)表示各自的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成二次函數(shù)，即可通過配方或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求其極值．