【題目】如圖①,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).
(1)試求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動點(diǎn),連接PA,試求5PA+4PC的最小值;
(3)如圖②,若直線l經(jīng)過點(diǎn)T(﹣4,0),Q為直線l上的動點(diǎn),當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí),試求直線l的解析式.
【答案】(1);(2)5PA+4PC的最小值為18;(3)直線l的解析式為或.
【解析】
(1)設(shè)出交點(diǎn)式,代入C點(diǎn)計(jì)算即可 (2)連接AC、BC,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,易證△CDP∽△COB,得到比例式,得到PD=PC,所以5PA+4PC=5(PA+PC)=5(PA+PD),當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí),5PA+4PC=5(PA+PD)=5AE最小,利用等面積法求出AE=,即最小值為18 (3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長為半徑畫圓, 當(dāng)∠BAQ=90°或∠ABQ=90°時(shí),即AQ或BQ垂直x軸,所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使∠BAQ=90°或∠ABQ=90°,即∠AQB=90°時(shí),只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,∴直線l與⊙F相切于點(diǎn)Q時(shí),滿足∠AQB=90°的點(diǎn)Q只有一個(gè);此時(shí),連接FQ,過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G,利用cos∠QFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí),分別代入直接l得到解析式即可
解:(1)∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A(﹣2,0)、B(4,0)
∴y=a(x+2)(x﹣4)
把點(diǎn)C(0,3)代入得:﹣8a=3
∴a=﹣
∴拋物線解析式為y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+3
(2)連接AC、BC,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D
∴∠CDP=∠COB=90°
∵∠DCP=∠OCB
∴△CDP∽△COB
∴
∵B(4,0),C(0,3)
∴OB=4,OC=3,BC==5
∴PD=PC
∴5PA+4PC=5(PA+PC)=5(PA+PD)
∴當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí),5PA+4PC=5(PA+PD)=5AE最小
∵A(﹣2,0),OC⊥AB,AE⊥BC
∴S△ABC=ABOC=BCAE
∴AE=
∴5AE=18
∴5PA+4PC的最小值為18.
(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長為半徑畫圓
當(dāng)∠BAQ=90°或∠ABQ=90°時(shí),即AQ或BQ垂直x軸,
∴只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使∠BAQ=90°或∠ABQ=90°
∴∠AQB=90°時(shí),只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q
∵當(dāng)Q在⊙F上運(yùn)動時(shí)(不與A、B重合),∠AQB=90°
∴直線l與⊙F相切于點(diǎn)Q時(shí),滿足∠AQB=90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)
此時(shí),連接FQ,過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G
∴∠FQT=90°
∵F為A(﹣2,0)、B(4,0)的中點(diǎn)
∴F(1,0),FQ=FA=3
∵T(﹣4,0)
∴TF=5,cos∠QFT=
∵Rt△FGQ中,cos∠QFT=
∴FG=FQ=
∴xQ=1﹣,QG=
①若點(diǎn)Q在x軸上方,則Q()
設(shè)直線l解析式為:y=kx+b
∴ 解得:
∴直線l:
②若點(diǎn)Q在x軸下方,則Q()
∴直線l:
綜上所述,直線l的解析式為或
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【題目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn).過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)證明四邊形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面積.
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【題目】四張大小、形狀都相同的卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,把它們放入到不透明的盒子中搖勻.
(1)從中隨機(jī)抽出1張卡片,求抽出的卡片上的數(shù)字恰好是偶數(shù)的概率;
(2)從中隨機(jī)抽出2張卡片,求抽出的2張卡片上的數(shù)字恰好是相鄰兩整數(shù)的概率.
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【題目】王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法,他發(fā)現(xiàn)對解題過程進(jìn)行回顧反思,效果會更好.某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí).假設(shè)他用于解題的時(shí)間x(單位:分鐘)與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖甲所示,用于回顧反思的時(shí)間x(單位:分鐘)與學(xué)習(xí)收益量z的關(guān)系為z=,且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間.
(1)求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間,才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大?(學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)如今,“垃圾分類”意識已深入人心,垃圾一般可分為:可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其它垃圾.其中甲拿了一袋垃圾,乙拿了兩袋垃圾.
(1)直接寫出甲所拿的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率;
(2)求乙所拿的兩袋垃圾不同類的概率.
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【題目】如圖,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,2),B(2,0),直線AB與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)C和點(diǎn)D(﹣1,a).
(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求∠ACO的度數(shù).
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【題目】如圖1,矩形的一條邊長為x,周長的一半為y,定義(x,y)為這個(gè)矩形的坐標(biāo)。如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,直線x=1,y=3將第一象限劃分成4個(gè)區(qū)域,已知矩形1的坐標(biāo)的對應(yīng)點(diǎn)A落在如圖所示的雙曲線上,矩形2的坐標(biāo)的對應(yīng)點(diǎn)落在區(qū)域④中,則下面敘述中正確的是( )
A. 點(diǎn)A的橫坐標(biāo)有可能大于3
B. 矩形1是正方形時(shí),點(diǎn)A位于區(qū)域②
C. 當(dāng)點(diǎn)A沿雙曲線向上移動時(shí),矩形1的面積減小
D. 當(dāng)點(diǎn)A位于區(qū)域①時(shí),矩形1可能和矩形2全等
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【題目】△OAB在第一象限中,OA=AB,OA⊥AB,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且函數(shù)y=正好過A,B兩點(diǎn),BE⊥x軸于E點(diǎn),則OE2﹣BE2的值為( 。
A. 3B. 2C. 3D. 4
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【題目】如圖,某校準(zhǔn)備給長12米,寬8米的矩形室內(nèi)場地進(jìn)行地面裝飾,現(xiàn)將其劃分為區(qū)域Ⅰ(菱形),區(qū)域Ⅱ(4個(gè)全等的直角三角形),剩余空白部分記為區(qū)域Ⅲ;點(diǎn)為矩形和菱形的對稱中心,,,,為了美觀,要求區(qū)域Ⅱ的面積不超過矩形面積的,若設(shè)米.
甲 | 乙 | 丙 | |
單價(jià)(元/米2) |
(1)當(dāng)時(shí),求區(qū)域Ⅱ的面積.
(2)計(jì)劃在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ分別鋪設(shè)甲,乙兩款不同的深色瓷磚,區(qū)域Ⅲ鋪設(shè)丙款白色瓷磚,
①在相同光照條件下,當(dāng)場地內(nèi)白色區(qū)域的面積越大,室內(nèi)光線亮度越好.當(dāng)為多少時(shí),室內(nèi)光線亮度最好,并求此時(shí)白色區(qū)域的面積.
②三種瓷磚的單價(jià)列表如下,均為正整數(shù),若當(dāng)米時(shí),購買三款瓷磚的總費(fèi)用最少,且最少費(fèi)用為7200元,此時(shí)__________,
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