Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），

∴﹣ ×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得b= ，

∴拋物線解析式為 y=﹣ x2+ x+4，

又∵y=﹣ x2+ x+4=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴對稱軸方程為x=3

（2）

解：在y=﹣ x2+ x+4中，令x=0，得y=4，

∴C（0，4），

令y=0，即﹣ x2+ x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+4

（3）

解：△AOC∽△COB成立．

理由如下：

在△AOC與△COD中，

∵OA=2，OC=4，OB=8，

∴ = ，

又∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB．

【解析】（1）把A點坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b的值，則可求得拋物線解析式及其對稱軸方程；（2）由拋物線解析式可求得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；（3）由A、B、C的坐標(biāo)可求得OA、OC、OB的長，根據(jù)相似三角形的判定可證明△AOC∽△COB．
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．