Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，點E在邊 AB上，點F在AB的延長線上，點G在邊AD上，且EF= AB，DG= AE，連接DE、FG相交于點H.

(1)若，如圖(1)，求∠EHF的度數(shù)（提示：連接CG，CF）；

(2)若，如圖(2)，求tan∠EHF的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）

【解析】分析：（1）連接FC和CG（如圖1），先證明△AED≌△DGC，同理△FBC≌△EAD，再證明△GFC是等腰直角三角形即可．

（2）如圖2，過點F作FM∥ED交CD于M，連接GM，先證明△DGM∽△AED，得∠ADE=∠DMG， ==，再證明△FMG是直角三角形即可．

詳解：（1）連接FC和CG（如圖1）．

∵四邊形ABCD為正方形，AE=BF=GD，∴AB=BC=DC=AD，∠A=∠ABC=∠FBC=∠CDG=90°．在△EAD和△GDC中， ，∴△AED≌△DGC（SAS），同理△FBC≌△EAD，∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，∴ED∥FC，∴∠EHF=∠GFC．

又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴∠GFC=∠FGC=45°，∴∠EHF=45°；

（2）如圖2，過點F作FM∥ED交CD于M，連接GM．

∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴四邊形EFMD為平行四邊形，∴EF=DM，DE=FM，∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．

∵EF=CD，GD=AE，∴．

∵∠A=∠GDM=90°，∴△DGM∽△AED，∴∠ADE=∠DMG， ==

∵∠DMG+∠MGD=90°，∴∠ADE+∠DGM=90°，∴GM⊥DE．

∵ED∥FM，∴GM⊥FM，∠EHF=∠GFM，∴tan∠GFM===．