Question

【題目】如圖1，已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD.

（1）求證：∠EMF＝90°．

（2）如圖2，若FN平分∠MFD交EM的延長線于點N，且∠BEN與∠EFN的比為4：3，求∠N的度數(shù)．

（3）如圖3，若點H是射線EA之間一動點，FG平分∠HFE，過點G作GQ⊥EM于點Q，請猜想∠EHF與∠FGQ的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠N＝75°；（3）無論點H在何處都有∠EHF＝2∠FGQ．證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，以及角平分線定義進行判斷即可；

（2）如圖2中，由題意可以假設(shè)：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，根據(jù)∠MFE＝∠MFD列出方程，求出x即可得到∠N的度數(shù)；

（3）先根據(jù)題意得到∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，再根據(jù)FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD＝2∠GFQ，最后根據(jù)∠EHF+∠HFD＝180°，即可得出∠EHF＝2∠FGQ．

（1）如圖1中，∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°，

∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，

∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，

∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，

∴∠EMF＝90°；

（2）如圖2中，由題意可以假設(shè)：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，

∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，

∴∠EFM＝90°﹣4x，

∴∠NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，

∵∠MFE＝2∠MFD，

∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），

∴x＝15°，

∴∠MFN＝15°，

∴∠N＝90°﹣15°＝75°；

（3）如圖3，∵GQ⊥FM，

∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的內(nèi)角和等于180°）．

∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．

∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，

又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，

∴∠HFD＝2∠GFQ．

又∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠HFD＝180°，

∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，

即無論點H在何處都有∠EHF＝2∠FGQ．