Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB和拋物線交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，4），且點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求直線AB和拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)△PAB面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

答案

解：設(shè)直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設(shè)物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+4．

；

答案

解：設(shè)直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設(shè)物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+4．

；答案；

解：設(shè)直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設(shè)物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+4．

（2）

解：如圖1所示，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AB于點(diǎn)Q．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣ +4），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a+4）．則PQ=﹣ +4﹣（a+4）=﹣ ﹣a．

∵S△ABP的面積= PQ（xB﹣xA）= ×4×（﹣ ﹣a）=﹣ a2﹣2a=﹣ （a+2）2+2，

∴當(dāng)a=﹣2時(shí)△ABP的面積最大，此時(shí)P（﹣2，2）．

（3）

解：如圖2所示：延長MN交x軸與點(diǎn)C．

∵M(jìn)N∥OB，OB⊥OC，

∴MN⊥OC．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠BA0=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON× =4× =2 ，NC=ON× =4× =2 ．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 ，2 ）．

如圖3所示：過點(diǎn)N作NC⊥y軸，垂足為C．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠OBA=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON× =4× =2 ，NC=ON× =4× =2 ．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2 ，﹣2 ）．

如圖4所示：連接MN交y軸與點(diǎn)C．

∵四邊形BNOM為菱形，OB=4，

∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．

∵將y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，2）．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）．

如圖5所示：

∵四邊形OBNM為菱形，

∴∠NBM=∠ABO=45°．

∴四邊形OBNM為正方形．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，4）．

綜上所述點(diǎn)N的坐標(biāo)為 或 或（﹣4，4）或（2，2）

【解析】（1）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，將A（﹣4，0），B（0，4）代入得到關(guān)于k、b的方程組，然后解得k、b的值即可；設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值即可；（2）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AB于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P（a，﹣ +4），Q（a，a+4）．則PQ=﹣ ﹣a，然后依據(jù)三角形的面積公式列出△ABP的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先根據(jù)題意畫出圖形，需要注意本題共有4種情況，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及特殊銳角三角函數(shù)值求解即可．