Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為        ，數(shù)量關(guān)系為        ．

②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

 

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點D在線段BC上運動．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外

畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

（1） ①CF與BD位置關(guān)系是 垂 直、數(shù)量關(guān)系是 相 等；

②當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．

由正方形ADEF得  AD=AF ，∠DAF=90º．

∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，  ∴∠DAB=∠FAC，

又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC  ， ∴CF=BD   ∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD  

（2）畫圖正確　　　　　　　xkb1.com

當(dāng)∠BCA=45º時，CF⊥BD（如圖丁）

  理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD）

（3）當(dāng)具備∠BCA=45º時，

過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設(shè)CD=x ，∴  DQ=4—x，

容易說明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，

．

∵0＜x≤3   ∴當(dāng)x=2時，CP有最大值1．