Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O， ⊙O與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC邊于點(diǎn)E．

(1) 求證：DE⊥AC；

(2) 連結(jié)OC交DE于點(diǎn)F，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理可求出OD∥AC，根據(jù)切線的性質(zhì)可證明DE⊥OD，進(jìn)而得證．

（2）過(guò)O作OF⊥BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用OB表示出OF、CF的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．

試題解析：(1)連接OD . ∵DE是⊙O的切線，

∴DE⊥OD，即∠ODE=90° .

∵AB是⊙O的直徑，

∴O是AB的中點(diǎn).

又∵D是BC的中點(diǎn)， .

∴OD∥AC .

∴∠DEC=∠ODE= 90° .

∴DE⊥AC .

(2)連接AD . ∵OD∥AC，

∴.

∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB= ∠ADC =90° .

又∵D為BC的中點(diǎn)，

∴AB=AC.

∵sin∠ABC= =， 故設(shè)AD= 3x , 則AB=AC=4x , OD= 2x .

∵DE⊥AC， ∴∠ADC= ∠AED= 90°.

∵∠DAC= ∠EAD， ∴△ADC∽△AED.

∴.

∴.

∴. ∴.

∴.