Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；
（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點C坐標（0，2）

（2）解：①由圖象AB為平行四邊形的邊時，

∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，

∴點E的橫坐標為﹣7或5，

∴點E坐標（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此時點F（﹣1，﹣ ），

∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積=6× = ．

②當點E在拋物線頂點時，點E（﹣1， ），設對稱軸與x軸交點為M，令EM與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積= ×6× =

（3）解：如圖所示，①當C為等腰三角形的頂角的頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN= = ，

∴點M1坐標（﹣1，2+ ），點M2坐標（﹣1，2﹣ ）．

②當M3為等腰三角形的頂角的頂點時，∵直線AC解析式為y=﹣x+2，

∴線段AC的垂直平分線為y=x與對稱軸的交點為M3（﹣1．﹣1），

∴點M3坐標為（﹣1，﹣1）．

③當點A為等腰三角形的頂角的頂點的三角形不存在．

綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，得到點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），令x=0，得y=2，得到點C坐標（0，2）；（2）①由圖象AB為平行四邊形的邊時，AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，得到點E的橫坐標為﹣7或5，求出點F的坐標，以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積=6× =；②當點E在拋物線頂點時，點E（﹣1， ），設對稱軸與x軸交點為M，令EM與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積= ×6× =；（3）①當C為等腰三角形的頂角的頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN=，所以點M1坐標（﹣1，2+ ），點M2坐標（﹣1，2﹣）；②當M3為等腰三角形的頂角的頂點時，因為直線AC解析式為y=﹣x+2，得到線段AC的垂直平分線為y=x與對稱軸的交點為M3（﹣1．﹣1），點M3坐標為（﹣1，﹣1）；③當點A為等腰三角形的頂角的頂點的三角形不存在；綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．