【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)M,Q分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與A,B重合),且MQ⊥BC,過點(diǎn)M作BC的平行線MN,交AC于點(diǎn)N,連接NQ,設(shè)BQ為x.
(1)試說明不論x為何值時(shí),總有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形,試說明理由;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),四邊形BMNQ的面積最大,并求出最大值.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)BQ=MN時(shí),四邊形BMNQ為平行四邊形,證明見解析;(3)當(dāng)x=時(shí),四邊形BMNQ的面積最大,最大值為.
【解析】
(1)根據(jù)題意得到∠MQB=∠CAB,根據(jù)相似三角形的判定定理證明;
(2)根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答;
(3)根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM,根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.
(1)∵MQ⊥BC,
∴∠MQB=90°,
∴∠MQB=∠CAB,又∠QBM=∠ABC,
∴△QBM∽△ABC;
(2)當(dāng)BQ=MN時(shí),四邊形BMNQ為平行四邊形,
設(shè)AM=3a,則MN=5a,
∴BQ=MN=5a,
∵MN∥BQ,
∴∠NMQ=∠MQB=90°,
∴∠AMN+∠BMQ=90°,又∠B+∠BMQ=90°,
∴∠B=∠AMN,又∠MQB=∠A=90°,
∴△MBQ∽△NMA,
∴,即,
解得,a=,
∴BQ=,
∵MN∥BQ,BQ=MN=,
∴四邊形BMNQ為平行四邊形;
(3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC==5,
∵△QBM∽△ABC,
∴,即,
解得,QM=x,BM=x,
∵MN∥BC,
∴,即,
解得,MN=5-x,
則四邊形BMNQ的面積=
=,
∴當(dāng)x=時(shí),四邊形BMNQ的面積最大,最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C(0,4),與 x 軸交于點(diǎn) A、B,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn) Q 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) Q 作 QE∥AC,交 BC 于點(diǎn) E,連接 CQ,當(dāng)△CQE 的面積最大時(shí),求點(diǎn) Q的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)沿著 BA 方向以每秒 2 個(gè)單位長向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿著 AC 方向以每秒 個(gè)單位長度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè) P、Q 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,當(dāng) t 為何值?△APQ為等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°.BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,交△ABC的外接圓于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F.請補(bǔ)全圖形后完成下面的問題:
(1)求證:EF是△ABC外接圓的切線;
(2)若BC=5,sin∠ABC=,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)C,拋物線過A,C兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接BE,與直線AC相交于點(diǎn)F,當(dāng)時(shí),求的值.
(3)點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn),在(2)的條件下,若點(diǎn)E位于對稱軸左側(cè),在拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使以M,N,E,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】宣和中學(xué)圖書館今日購進(jìn)甲、乙兩種圖書,每本甲種圖書的進(jìn)價(jià)比每本乙種圖書的進(jìn)價(jià)高20元,花780元購進(jìn)甲種圖書的數(shù)量與花540元購進(jìn)乙種圖書的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種圖書每本的進(jìn)價(jià)分別是多少元;
(2)宣和中學(xué)購進(jìn)甲、乙兩種圖書共70本,總購書費(fèi)用不超過3950元,則最多購進(jìn)甲種圖書多少本.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C、D為⊙O上的兩點(diǎn),∠BAC=∠DAC,過點(diǎn)C做直線EF⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)E,連接BC.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若DE=1,BC=2,求劣弧的長l.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織學(xué)生開展為貧困山區(qū)孩子捐書活動(dòng),要求捐贈(zèng)的書籍類別為科普類、文學(xué)類、漫畫類、哲學(xué)故事類、環(huán)保類,學(xué)校圖書管理員對所捐贈(zèng)的書籍隨機(jī)抽查了部分進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并對獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,根據(jù)整理結(jié)果,繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.已知所統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)中,捐贈(zèng)的哲學(xué)故事類書籍和文學(xué)類書籍的數(shù)量相同.請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次被抽查的書籍有_____冊.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若此次捐贈(zèng)的書籍共1200冊,請你估計(jì)所捐贈(zèng)的科普類書籍有多少冊.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,正方形ABCD的邊長為4,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿A﹣D﹣A連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng).E、G兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)G到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E也隨之停止.過點(diǎn)G作FG⊥AB交AC于點(diǎn)F,以FG為一直角邊向右作等腰直角三角形FGH,使∠FGH=90°.設(shè)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△FGH與正方形ABCD重疊部分圖形的周長為l.
(1)當(dāng)t=1時(shí),l= .
(2)當(dāng)t=3時(shí),求l的值.
(3)設(shè)DE=y,在圖②的坐標(biāo)系中,畫出y與t的函數(shù)圖象.
(4)當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】哈市某中學(xué)為了豐富校園文化生活.校學(xué)生會決定舉辦演講、歌唱、繪畫、舞蹈四項(xiàng)比賽,要求每位學(xué)生都參加.且只能參加一項(xiàng)比賽.圍繞“你參賽的項(xiàng)目是什么?(只寫一項(xiàng))”的問題,校學(xué)生會在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。將調(diào)查問卷適當(dāng)整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖.其中參加舞蹈比賽的人數(shù)與參加歌唱比賽的人數(shù)之比為1:3.請你根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在這次調(diào)查中,一共抽取了多少名學(xué)生?
(3)如果全校有680名學(xué)生,請你估計(jì)這680名學(xué)生中參加演講比賽的學(xué)生有多少名?
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