Question

【題目】閱讀材料：

我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．

（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請(qǐng)你說明理由．

（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請(qǐng)你求出直線的解析式．

（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）理由見解析；（2）；（3）長為3或．

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；

（2）過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出，，從而確定N點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．

解：（1）∵，∴

又∵

∴

∴

∵．

∴

（2）如圖，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，

分別過、作軸，軸

由（1）得 ∴

∵坐標(biāo) ∴，

∵ ∴

解得：， ∴

設(shè)直線表達(dá)式為，代入，

得，解得，

∴直線表達(dá)式為

（3）解：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠PDC=180°，

∴A、D、P共線，

∵EA=EP，∠AEP=90°，

∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，

∴∠BAE=45°，∵∠B=90°

∴∠BAE=∠BEA=45°，

∴BE=AB=3．

②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，

∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠PEF，

在△ABE和△EFP中，

∴△ABE≌△EFP，

∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，

∴CF=3-（5-x）=x-2，

∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，

∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，

∴△PHD∽△CHP，

∴PH2=DHCH，

∴（x-2）2=x（3-x），

∴x=或（舍棄），

∴BE=，

綜上所述，當(dāng)△PDC是直角三角形時(shí)，BE的值為3或．